2018　青森公立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問題１　次の式を計算せよ．

${\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}}-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}}+\sqrt{5}-5\sqrt{6}+3\sqrt{7}$

【１】　次の問いに答えよ．

問題２　次の連立不等式を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

$\{\begin{array}{l}{x}^2-7x+10\geqq 0\\ x^2-2x-1<0\end{array}$

【１】　次の問いに答えよ．

問題３　生徒$5$人に$10$点満点のテストを行ったところ，$4\text{，}x\text{，}y\text{，}7\text{，}3$（点）という結果になった．ただし，$x\text{，}y$は整数で，$x\leqq y$である．このデータの平均値が$5.2\text{，}$分散が$2.56$のとき，$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　以下の$2$つの$2$次関数について答えよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x+3a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

ただし，$a$は定数とする．

問題１　任意の実数$x$に対して，$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

問題２　$-3\leqq x_1\leqq 3\text{，}-3\leqq x_2\leqq 3$を満たす$x_1\text{，}{x}_2$のすべての組み合わせについて，$f(x_1)<g(x_2)$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

問題３　$f(x)$と$g(x)$が$2$つの交点を持つとき，その交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さが$4\sqrt{2}$となるような$a$の値を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表す．このとき，$\sin A:\sin B:\sin C=4:5:6$とする．

問題１　$\sin A$の値を求めよ．

問題２　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r\text{，}$外接円の半径を$R$とする．このとき，$r:R$を求めよ．

【４】　$1$から$20$までの整数が$1$つずつ書かれた$20$枚のカードが箱の中にある．この箱の中から$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が順に$1$枚ずつ$1$回だけカードを取り出す．ただし，取り出したカードは箱にもどさないものとする．

問題１　取り出した$3$枚のカードの数字について，その和が$10$以下，かつ$2$枚以上が素数である確率を求めよ．

問題２　取り出した$3$枚のカードの数字について，その和が$10$以下，または$2$枚以上が素数である確率を求めよ．

問題３　取り出した$3$枚のカードの数字について，その和が$10$以下，または$2$枚以上が素数であったとき，$\mathrm{B}$のカードの数字が素数である確率を求めよ．