2018　福島県立医科大学　前期

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(1)　$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$を満たす有理数$a\text{，}b$を求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$について，$\mathrm{AB}=c\text{，}\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b$とする．内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$a\text{，}b\text{，}c$で表わせ．また，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{Q}$の間の長さ$\mathrm{PQ}$を$a\text{，}b\text{，}c$で表わせ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，方程式$\sin 3x=\cos 2x$を解け．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x-x)}^{2}dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(5)　複素数$z$が等式$|2iz+6|=|z-3|$を満たすとき，$\left|z\right|$の最小値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(6)　$xy$平面上の点$(x,y)$で$x$と$y$がともに整数である点を格子点という．自然数$n$について，$y\geqq nx$および$y\leqq 2n^2-x^2$を満たす格子点の総数を$n$で表わせ．

【２】　関数$f(x)=x^3-6x$について，曲線$y=f(x)$を$C$とする．また，$\sqrt{3}$より大きい実数$a$について$a_1=a$とし，$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$に対して$C$上の点$(a_n,f(a_n))$における接線と直線$y=3x$との交点の$x$座標を$a_{n+1}$と定めることにより数列$\{a_n\}$を定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\geqq 3$を示せ．

(2)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{2x^2-3x-9}{3x^2-9}}$について，曲線$y=g(x)\text{（}x>\sqrt{3}\text{）}$のグラフをかけ．また，漸近線を求めよ．

(3)　$2$以上のすべての自然数$n$に対して，不等式$0\leqq a_{n+1}-3\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}(a_n-3)$が成り立つことを示せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$が存在することを示せ．

【３】　$\mathrm{OA}=\sqrt{2}\mathrm{OB}$を満たす$\mathrm{▵OAB}$の辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$があって，$\mathrm{OP}=2\text{，}\mathrm{\angle AOP}=45\mathrm{°}\text{，}\mathrm{\angle BOP}=60\mathrm{°}$である．$\mathrm{▵OAP}$の外接円を$C_1\text{，}\mathrm{▵OBP}$の外接円を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．

(2)　$C_1$の半径$R_1$と$C_2$の半径$R_2$を求めよ．

(3)　$C_1$の内部と$C_2$の内部の共通部分の面積$S$を求めよ．

(4)　$C_1$の内部と$C_2$の内部の共通部分を直線$\mathrm{OP}$のまわりに回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．