2018　首都大学東京　前期MathJax

【１】　関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \text{（}x\geqq 0\text{のとき）}\\ -x& \text{（}x<0\text{のとき）}\end{array}$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　$g(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}f(t)dt$とおく．$g(x)$を求めなさい．

(3)　(2)の関数$g(x)$の最小値を求めなさい．

【２】　整数を係数とする$3$次式

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)　有理数$r$が方程式$f(x)=0$の$1$つの解であるとき，$r$は整数であることを示しなさい．

(2)　整数$f(1)\text{，}f(2)\text{，}f(3)$のいずれも$3$で割り切れないとき，方程式$f(x)=0$は有理数の解をもたないことを示しなさい．

【３】　$i$を虚数単位とする．$m$を整数とし，$g(x)=x^3-5x^2+mx-13$とする．整数$a$と$0$でない整数$b$が$g(a+bi)=0$をみたすとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$g(a-bi)=0$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$g(x)$が$x^2-2ax+a^2+b^2$で割り切れることを示しなさい．

(3)　$m$の値を求めなさい．

【４】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　三角形$\mathrm{OMN}$の面積を求めなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$が定める平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$上に点$\mathrm{P}$を，直線$\mathrm{AP}$が平面$\alpha$と直交するようにとる．線分$\mathrm{AP}$の長さ，および四面体$\mathrm{OAMN}$の体積を求めなさい．

【１】　$a$を$a>1$をみたす実数とし，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=a(x^2-1)$をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めなさい．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S(a)$を求めなさい．

(3)　(2)で求めた$S(a)$を最小にする$a$の値，およびそのときの$S(a)$の値を求めなさい．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}-a_n& \text{（}{a}_n<0\text{のとき）}\\ a_n-1& \text{（}{a}_n\geqq 0\text{のとき）}\end{array}$

をみたしているとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{9}{4}}$であるとき，$a_7$の値を求めなさい．

(2)　$a_1=4$であるとき，${\displaystyle \sum _{i=0}^{40}}{a}_i$の値を求めなさい．

(3)　$0\leqq a_1\leqq 1$であり，かつ${\displaystyle \sum _{i=1}^{22}}{a}_i=0$をみたすとき，$a_1$の値を求めなさい．

【３】　空間において，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をとる．ただし，$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は同一平面上にはないとする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$が定める平面$\mathrm{OAC}$と平面$\mathrm{OAB}$のなす角を$\alpha$とし，平面$\mathrm{OAB}$と平面$\mathrm{OBC}$のなす角を$\beta$とし，さらに平面$\mathrm{OBC}$と平面$\mathrm{OAC}$のなす角を$\gamma$とする．また，$a=\angle \mathrm{BOC}\text{，}b=\angle \mathrm{COA}\text{，}c=\angle \mathrm{AOB}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　平面$\mathrm{OAB}$上に点$\mathrm{P}$を，直線$\mathrm{CP}$が平面$\mathrm{OAB}$と直交するようにとる．また，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{F}$を，直線$\mathrm{PF}$が直線$\mathrm{OA}$と直交するようにとる．直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{CF}$が直交することを示しなさい．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$\sin b\text{，}\sin c\text{，}$および$\sin \alpha$を用いて表しなさい．

(3)　以下の等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin a}}={\displaystyle \frac{\sin \beta }{\sin b}}={\displaystyle \frac{\sin \gamma }{\sin c}}$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$x=\tan \theta$とおくことにより，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx$の値を求めなさい．

(2)　$k$を$0$以上の整数とし，$x$を実数とする．次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$-x^{2k+2}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}-{\displaystyle \sum _{n=1}^{k+1}}{(-x^2)}^{n-1}\leqq x^{2k+2}$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \sum _{n=1}^{k+1}}{(-x^2)}^{n-1}dx={\displaystyle \sum _{n=1}^{k+1}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{2n-1}}$であることと，(1)および(2)を利用して，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{2n-1}}$の和を求めなさい．

【２】　$a\text{，}b$を$(a,b)\ne (0,0)$をみたす$0$以上の実数とし，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(0,a)$および$\mathrm{B}(b,0)$を頂点とする正方形を$\mathrm{ABCD}$とする．ただし，点$\mathrm{C}$または点$\mathrm{D}$は第$1$象限にあるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標をそれぞれ求めなさい．また，正方形$\mathrm{ABCD}$の周および内部が連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq x\\ 0\leqq y\\ y\leqq -2x+4\end{array}$

の表す領域に含まれるとき，点$(a,b)$の動く範囲を座標平面上に図示しなさい．

(2)　点$(a,b)$が(1)で求めた範囲を動くとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$が最大となるような$(a,b)$を求めなさい．また，そのときの$S$の値を求めなさい．

(3)　点$(a,b)$が(1)の範囲を動き，点$\mathrm{C}$または点$\mathrm{D}$のうち少なくとも一方が直線$y=-2x+4$の上を動くとき．正方形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$が最小となるような$(a,b)$を求めなさい．また，そのときの$S$の値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　正の整数$p\text{，}q\text{，}f$および整数$r$が次の関係をみたしているとする．

$p=fq+r$

　ただし，$0\leqq r<q$とする．このとき整数$d$が$p$と$q$の公約数であることと，$d$が$q$と$r$の公約数であることは同値であることを示しなさい．

(2)　正の整数$k\text{，}m$の最大公約数を$\gcd (k,m)$で表す．$p\text{，}q$を，$p>q$をみたす正の整数とする．また，$n\geqq 2$とし，$2n-1$個の正の整数$f_1\text{，}{f}_2\text{，}\cdots \text{，}{f}_{n-1}\text{，}{r}_1\text{，}{r}_2\text{，}\cdots \text{，}{r}_n$が次の関係をみたしているとする．

$p=r_1$

$q=r_2$

$r_1=f_1{r}_2+r_3\text{，}{r}_3<r_2$

$r_2=f_1{r}_3+r_4\text{，}{r}_4<r_3$

$⋮$

$r_{n-2}=f_{n-2}{r}_{n-1}+r_n\text{，}{r}_n<r_{n-1}$

$r_{n-1}=f_{n-1}{r}_n$

このとき，$\gcd (p,q)=\gcd (r_j,r_{j+1})\text{（}j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$が成り立つことを$j$に関する数学的帰納法で示しなさい．

(3)　$p$と$q$を互いに素な正の整数とする．このとき，$ap+bq=1$をみたす整数$a\text{，}b$が存在することを示しなさい．