2018　首都大学東京　後期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$が

$S_n=n^4+6n^3+11n^2+6n$

をみたすとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2$の値を求めなさい．

(2)　$a_n$を$n$の式で表しなさい．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$の和を求めなさい．

【２】　$0\leqq x\leqq 2\pi$をみたす$x$に対し

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\sqrt{1-\sin t}dt$

とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$1-\sin t={(\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}-\cos {\displaystyle \frac{t}{2}})}^2$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$f(x)$を求めなさい．

(3)　正の整数$n$に対し，定積分${\displaystyle {\int }_0^{2n\pi }}\sqrt{1-\sin t}dt$の値を求めなさい．

【３】　正の整数$k\text{，}n$に対し，$n$からはじまる連続する$k$個の整数の和を

$S_n(k)=n+(n+1)+\cdots +(n+k-1)$

とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$1\leqq n\leqq 1000$であるとき，$S_n(2n)=S_{2k}(n)$をみたす正の整数の組$(k,n)$の個数を求めなさい．

(2)　$k\text{，}n$が$2n\leqq \sqrt{S_n(k)}<2n+1$をみたすとき，$k$を$n$で表しなさい．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{OBA}$と三角形$\mathrm{OCA}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形であるとし，$\mathrm{\angle BOC}=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$とする．さらに$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面$\mathrm{ABC}$と，点$\mathrm{O}$を通り平面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$はある実数$s$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-s)\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{s}{2}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{s}{2}}\overrightarrow{c}$

と表せることを示しなさい．

(2)　(1)の$s$に対し，$\cos \theta$を$s$の式で表しなさい．また，$s$の動く範囲を求めなさい．

(3)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$の大きさと四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めなさい．