2018　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　円形，三角形，五角形の$3$種類のカードによる「じゃんけん」を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$の$5$人で行う．円形カードは三角形カードに勝ち，三角形カードは五角形カードに勝ち，五角形カードは円形カードに勝つとする．また，出されたカードが$2$種類のみのとき，勝敗が確定する．それぞれの人が各カードを出す確率はすべて等しく${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　「じゃんけん」を$1$回行うとき，，勝者の数が敗者の数より多くなる確率を求めよ．

(2)　「じゃんけん」を$1$回行うとき，$3$種類のカードがすべて出ている確率を求めよ．

(3)　$1$回の「じゃんけん」で$5$人が出したカードに含まれる多角形の辺の数の合計を変量$x$とする．ただし，円形カードの辺の数は$0$とする．三角形カードを含んで$1$回で勝敗が確定する場合を考える．この場合について出されたカードを$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$の順に並べるとき，その並べ方の総数を$n$とする．$n$通りの並べ方それぞれの場合の$x$の値を$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$とするとき，このデータの平均値と中央値を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}(0,0,0)$を原点とする座標空間に，$4$点$\mathrm{A}(1,0,2)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,4,3)\text{，}\mathrm{D}(3,0,0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．

(2)　点$\mathrm{E}(x,y,1)$を，点$\mathrm{A}$を中心とし，点$\mathrm{B}$を通る球面上の点とする．$\angle \mathrm{BAE}=60\mathrm{°}$のとき，$x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{F}$を平面$\alpha$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を求めよ．

【３】　$n$を自然数，$e$を自然対数の底とし，

$F_n=\underset{s\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^s}{e}^{-t}{t}^{n-1}dt\text{，}{G}_n=\underset{s\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^s}{e}^{-nt}{t}^{n}dt$

とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\underset{s\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{s^n}{e^s}}=0$が成り立つことは，証明なしに用いてよい．

(1)　$F_1$を求めよ．

(2)　$F_{n+1}$を$n$と$F_n$を用いて表せ．

(3)　$F_{n+1}$を$n$のみを用いて表せ．

(4)　$G_n$を$n$のみを用いて表せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{G}_n$を求めよ．

【４】　$z$を等式$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=1$を満たす複素数とする．ただし，$0\leqq \arg z\leqq \pi$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$z$を極形式で表せ．

(2)　$z+z^2+z^3+z^4+z^5$を求めよ．

(3)　$\gamma =z^2$とする．点$z$を中心に点$\gamma$を${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転した点を表す複素数$\delta$を求めよ．