2018　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$は実数とする．$xy$平面上で不等式$y\leqq e^x$をみたす点$(x,y)$の集合を$D$とし，直線$y=ax+b$を$L$とする．

(1)　$L$が$D$に含まれるための$a\text{，}b$の条件を求め，その条件をみたす点$(a,b)$の集合$E$を$ab$平面上に図示せよ．

(2)　$t$は正の実数とし，$ab$平面上で連立不等式$a\geqq t\text{，}b\geqq 0$をみたす点$(a,b)$の集合を$F_t$とする．(1)の$E$と$F_t$の共通部分の面積を$S(t)$とするとき，$\underset{t\to +0}{\lim }S(t)$を求めよ．

　必要なら$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$であることは用いてよい．

【２】　$xy$平面上の原点$(0,0)$に駒をおき，以下の操作を繰り返し，駒を$xy$平面上で移動させる．

　以下の問いに答えよ．ただし実数$x$について，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．

(1)　$p\text{，}q$は$0$以上の整数とする．点$(p,q)$に到達させるために必要なサイコロを投げる最小の回数を$N(p,q)$とおく．

$\left[{\displaystyle \frac{p}{5}}\right]\leqq N(p,0)\leqq \left[{\displaystyle \frac{p}{5}}\right]+2\text{，}\left[{\displaystyle \frac{q}{3}}\right]\leqq N(0,q)\leqq \left[{\displaystyle \frac{q}{3}}\right]+1$

であることを証明せよ．

(2)　$a\text{，}b$は$0$以上の整数とする．ただし，$a\text{，}b$の少なくとも一方は$0$でないとする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{N(an,bn)}{(a+b)n}}$を求めよ．

(3)　(2)の極限値を$R(a,b)$とおく．$R(a,b)$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{，}\mathrm{AD}=1\text{，}\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，辺$\mathrm{AD}$は面$\mathrm{ABC}$に垂直であり，辺$\mathrm{BC}$は面$\mathrm{ACD}$に垂直であるとする．

(1)　辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の長さを求めよ．

　次に四面体$\mathrm{ABCD}$から十分に離れたところに直線$\mathrm{AB}$と平行な平面$\alpha$を一つとる．$\alpha$に垂直な平行光線を四面体$\mathrm{ABCD}$にあてて，$\alpha$上に影をつくる．その影の面積を$S$とする．

(3)　面$\mathrm{ABD}$が$\alpha$に平行であるときの$S$を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{AB}$を軸として四面体$\mathrm{ABCD}$を$1$回転させるとき，$S$の最大値，最小値を求めよ．

【４】　$n$は$2$以上の偶数とする．$n$個の式$x-k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$の積を$f_n(x)$とする．すなわち

$f_n(x)=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$

である．

(1)　関数$y=f_n(x)$のグラフは$y$軸に平行なある直線に関して対称であることを証明せよ．

(2)　$x$の方程式$f_n(x)=n!$はちょうど$2$つの実数解をもつことを証明し，その実数解を求めよ．

(3)　(2)の実数解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とするとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}|f_n(x)|dx$

を求めよ．