2018　奈良県立医科大学　推薦医学科MathJax

【１】　以下の問に答えよ．ただし，答のみ記入すればよい．

　$a$を実数とする．$x$についての$3$次方程式

$x^3-3a^{2}x+a^4=0$

が相異なる$3$個の実数解を持つような$a$の範囲を求めよ．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$とそれに内接する円$C_1\text{，}$および辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と円$C_1$に内接する円$C_2$を考える．$C_1$と$C_2$の中心をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とし，$C_1$と辺$\mathrm{AB}\text{，}{C}_2$と辺$\mathrm{AB}$の接点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とする．また，$C_1$と辺$\mathrm{BC}$の接点を$\mathrm{H}$とする．$C_1$の半径が$1$で$\angle \mathrm{ABC}=2\theta$のとき，$t=\tan \theta$とすると$\mathrm{BH}$の長さは$t$を用いて$\boxed{\text{ア}}$と表せる．さらに，$C_2$の半径と四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_1$の面積は，$t$の整式としてそれぞれ$\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}$と表せる．

【３】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　複素数$z$と整数$n$は以下の$2$つの条件を満たしているとする．

条件(a)：$\left|z\right|=1$

条件(b)：$z^n+z+1=0$

このような$z$と$n$をすべて求めたい．まず，これらの条件より$z+1$の絶対値は$\boxed{\text{ア}}$である．さらに，条件(a)を用いると，$z$の値は$\boxed{\text{イ}}$または$\boxed{\text{ウ}}$となる．このどちらの$z$に対しても，$z^k=1$となるような最小の正整数は$k=\boxed{\text{エ}}$であり，求める$n$は$\boxed{\text{オ}}$で割って余り$\boxed{\text{カ}}$となるすべての整数である．つまり，

$n=\boxed{\text{オ}}m+\boxed{\text{カ}}$（$m$は整数）

と書ける．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$a_1={\displaystyle \frac{1}{14}}$とすると，式

${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{19{a_n}^2+16a_n+4}}{4a_n}}-2\text{（}n=1\text{，}$2 ， ⋯ ）

の右辺は$0$でない実数値となり，上式を漸化式とする初項$a_1={\displaystyle \frac{1}{14}}$の数列$\{a_n\}$が定義できる．すべての正整数$n$に対し，

$b_n={({\displaystyle \frac{1}{a_n}}+2)}^2$

とおくと，数列$\{b_n\}$が満たすべき漸化式は$\boxed{\text{ア}}$となる．したがって，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{イ}}$となる．$a_1>0$なので，ある番号$k$までは$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_k>0$であると仮定する．$a_{k+1}\ne 0$なので，まず$a_{k+1}<0$の場合を考えてみる．数列$\{a_n\}$の漸化式より${\displaystyle \frac{1}{a_{k+1}}}>-2$なので$a_{k+1}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$である．このとき，$0<b_{k+1}<\boxed{\text{ウ}}$となる．次に，$a_{k+1}>0$ならば$b_{k+1}>\boxed{\text{ウ}}$となる．よって，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_m>0$かつ$a_{m+1}<0$となる$m$は$\boxed{\text{エ}}$であり，このとき$a_{m+1}=\boxed{\text{オ}}\text{，}{a}_{m+2}=\boxed{\text{カ}}$である．ただし，オとカは${\displaystyle \frac{x}{y+\sqrt{z}}}$の形（$x\text{，}y\text{，}z$は整数）で答えよ．

【５】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　空間に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$がある．以下では位置ベクトルの始点は原点$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{P}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{p}$とする．点$\mathrm{A}$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の位置ベクトル$\overrightarrow{q}$は$\overrightarrow{q}=\boxed{\text{ア}}$である．同様に，点$\mathrm{B}$に関して点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{R}$の位置ベクトル$\overrightarrow{r}$と，点$\mathrm{C}$に関して点$\mathrm{R}$と対称な点$\mathrm{S}$の位置ベクトル$\overrightarrow{s}$も求まる．特に点$\mathrm{S}$が点$\mathrm{P}$と一致するとき，$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表すと$\overrightarrow{p}=\boxed{\text{イ}}$となる．このとき三角形$\mathrm{PQR}$の面積は三角形$\mathrm{ABC}$の面積の$\boxed{\text{ウ}}$倍である．

【６】　以下の問に答えよ．

　区間$0\leqq x\leqq 1$で定義された関数$f(x)$が以下の$2$つの条件を満たしているとする．

(1)　$0<x<1$なる任意の$x$に対し，不等式$|f(x)|<kx$と$|f(x)|<k(1-x)$が成り立つことを示せ．

(2)　$0\leqq x_1\leqq 1\text{，}0\leqq x_2\leqq 1$なる任意の$x_1\text{，}{x}_2$に対し，不等式$|f(x_1)-f(x_2)|<{\displaystyle \frac{k}{2}}$が成り立つことを示せ．