2018　上智大学　理工学部2月8日実施MathJax

【１】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,0)$がある．点$\mathrm{P}$は

$\angle \mathrm{PAO}=2\angle \mathrm{POA}$

を満たしながら$y$座標が正の範囲を動く．

(1)　$\mathrm{P}$の軌跡は曲線

$\boxed{\text{ア}}{(x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}})}^2+\boxed{\text{エ}}{y}^2=1$

の第$1$象限の部分と一致し，直線

$y=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}(x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}})$

を漸近線にもつ．

(2)　$k$を実数とし，$\mathrm{P}$から直線$x=k$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．${\displaystyle \frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{AP}}}$が常に一定の値であるとき，$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{AP}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

(3)　$\angle \mathrm{PAO}=\theta$とすると

$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{1+\boxed{\text{ス}}\cos \theta }}$

が成り立つ．

【２】　ある食堂はランチとして$\mathrm{A}$定食か$\mathrm{B}$定食のいずれか一方を提供する．$\mathrm{A}$定食を提供した次の営業日は等しい確率で$\mathrm{A}$定食か$\mathrm{B}$定食のどちらかを提供し，$\mathrm{B}$定食を提供した次の営業日は必ず$\mathrm{A}$定食を提供する．$1$日目には$\mathrm{A}$定食を提供することがわかっているとする．

(1)　$3$日目に$\mathrm{A}$定食が提供される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　$n$日目に$\mathrm{A}$定食が提供される確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}({\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\right)}^{n-1}+\boxed{\text{ト}})$

である．ただし$n$は$1$以上の整数とする．

(3)　$6$日目に$\mathrm{A}$定食が提供されたことがわかっているという条件のもとで，$3$日目にも定食が提供されていた確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

(4)　$1$日目から$n$日目までに提供される定食の可能な組合せのうち，$n$日目が$\mathrm{A}$定食であるものの総数を$a_n$とする．このとき，$a_5=\boxed{\text{ヌ}}$である．また，$1$日目から$10$日目までに提供される定食の可能な組合せの総数は$\boxed{\text{ネ}}$である．

【３】　座標空間において，原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円が$xy$平面上にある．この円を底面とし，$\mathrm{A}(0,0,\sqrt{2})$を頂点とする円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$を考える．$\mathrm{A}$と底面の円周上の点$\mathrm{B}(-\sqrt{2},0,0)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{CA}$上を動き，$\mathrm{CP}=a$とする．$\mathrm{P}$を通り線分$\mathrm{AB}$と垂直に交わる平面でこの円錐を切ったときの断面積を$S(a)$とする．

(1)　$S(0)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$である．

(2)　$S(a)$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$のとき最大値$\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$をとる．

(3)　$\mathrm{C}$を通り線分$\mathrm{AB}$と垂直に交わる平面で円錐を$2$つの立体に分けるとき，頂点$\mathrm{A}$を含む方の立体の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}}\pi$

である．

【４】　座標平面において，方程式

${(x^2+y^2)}^2=2xy$

の表す曲線$C$を考える．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}$と$2$点$\mathrm{A}(a,a)\text{，}\mathrm{B}(-a,-a)\text{（}a>0\text{）}$との距離の積$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$が常に一定の値であるとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}\text{，}\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}$である．

(2)　極座標$(r,\theta )$に関する$C$の極方程式が$r^s=\sin (t\theta )$と表されるとき，$s=\boxed{\text{リ}}\text{，}t=\boxed{\text{ル}}$である．

(3)　$C$の概形として最もふさわしいものを下から選べ．

(4)　$C$上の点で$x$座標が最大である点$\mathrm{M}$の偏角を${\theta }_0\text{（}0\leqq {\theta }_0<2\pi \text{）}$とすると，${\theta }_0={\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}\pi$である．

(5)　$\mathrm{M}$を通り$y$軸に平行な直線を$l$とする．$C$上の点を極座標で$(r,\theta )$と表すとき，$C$の$0\leqq \theta \leqq {\theta }_0$の部分と，$x$軸，および$l$で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ワ}}}{\boxed{\text{ヲ}}}}$である．

(6)　$C$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ン}}$である．