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2018-14861-0501
2018 同志社大学 文化情報,スポーツ健康科学部理系,生命医科学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 部分積分法により, ∫ e- x⁢sin ⁡x⁢d x= ア +∫ e- x⁢cos ⁡x⁢d x , ∫e -x⁢ cos⁡x⁢ dx= イ -∫ e- x⁢sin ⁡x⁢d x が成り立つ.次に, n を自然数とする. In= ∫ 0n⁢ π e-x ⁢sin ⁡x⁢d x ,J n= ∫0n ⁢π e- x⁢cos ⁡x⁢d x とおくと, In- Jn の値は ウ であり, In +Jn は 1 - ( エ ) n⁢e -n⁢ π と表される.これより, Sn = ∑k= 1n (2⁢ Ik- 1) とおくと, limn →∞ Sn = オ となる.
2018-14861-0502
(2) 大小 2 個のさいころを同時に投げるとき, 2 つの目が異なる出方は カ 通りであるので, 2 つの目が異なる確率は キ である.次に,大中小 3 個のさいころを同時に投げる.このとき,出る目がすべて異なる確率は ク であり, 3 の目が少なくとも 1 個のさいころで出る確率は ケ である. 1 個のサイコロを 4 回続けて投げる反復試行において, 3 の目が出る回数が 1 回以下である確率は コ である.
2018-14861-0503
【2】 O を原点とする座標空間において, 3 点 A ( 1,0, 1) ,B ( 1,1, 1) ,C ( 0,1, 1) を考える.実数 t は t >1 を満たすとし, z 軸上の動点 P の座標を ( 0,0, t) とする.次の問いに答えよ.
(1) 3 直線 PA , PB ,PC と x y 平面の交点をそれぞれ R ,S , T とする. R , S , T の座標を求めよ.
(2) ▵RST の面積を U とする. U を t を用いて表せ.
(3) 4 点 P ,R , S , T を頂点とする三角錐の体積を V とする. t が t >1 の範囲で変化するとき, V の最小値を求めよ.
2018-14861-0504
【3】 x を正の数, r を 0 でない実数とする.定積分では,積分変数以外の変数は定数とみなして積分するものとする.定積分で表される関数
fr ⁡(x )= ∫0 rx e- x⁢t 2⁢ dt ,g r⁡( x)= ∫ 0rx |t | ⁢e- x⁢t2 ⁢d t
を考えて,
f- ⁡(x )= limr→ -∞ fr⁡ (x ), f+ ⁡(x )= limr→ +∞ fr⁡ (x )
g- ⁡(x )= limr→ -∞ gr⁡ (x ), g+ ⁡(x )= limr→ +∞ gr⁡ (x )
とする.次の問いに答えよ.
(1) 関数 p ⁡(u )=e -u2 の導関数 dpd u を求めよ.
(2) 定積分 Ir = ∫0r | u| ⁢e -u2 ⁢d u を求め,極限 limr→ +∞ Ir を求めよ.
(3) 定積分 ∫0r | u| ⁢e -u2 ⁢du を C r とおく.関数 gr⁡ (x ) を Cr ,x で表せ.さらに, 2 つの関数 g-⁡ (x ), g+ ⁡(x ) をそれぞれ x の式で表せ.
(4) 定積分 Dr= ∫ 0r e- u2 ⁢du に対して, limr →+∞ Dr = π2 であることが知られている.これを用いて, 2 つの関数 h-⁡ (x) =f- ⁡(x )- g-⁡ (x ), h+ ⁡(x )=f +⁡( x)- g+⁡ (x ) をそれぞれ x の式で表し,それぞれの関数の極値を求めよ.
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【4】 n を自然数とし, y= 11+ ex とする.第 n 次導関数 dn⁡ ydx n は, x を含まない y の式で表すと, y の ( n+1 ) 次式になることが知られている.この y の ( n+1 ) 次式を f n⁡( y) とする.また, fn ⁡(y ) の y n+1 の係数を an ,yn の係数を b n とする.次の問いに答えよ.
(1) ex を x を含まない y の式で表せ.
(2) f1 ⁡( y) を求めよ.また, a1 , b1 を求めよ.
(3) a2 , b2 を求めよ.
(4) 数列 { an } を考える. an+ 1 を a n と n の式で表せ.また,数列 { an } の一般項を求めよ.
(5) 数列 { bn } を考える. bn+ 1 を b n と n の式で表せ.また,数列 { bn } の一般項を求めよ.