2018　関西大　文系学部2月1日実施MathJax

$C_1\text{：}{x}^2+{(y-1)}^2=r^4\text{，}{C}_2\text{：}{x}^2+{(y+1)}^2=r^2$

がある．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$がただ$1$つの共有点をもつときの$r$の値をすべて求めよ．

(2)　$r={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式を$y=ax+b$とおく．$(a,b)$の組をすべて求めよ．ただし，$b<-1$であることを証明せずに用いてよい．

　空間内に各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{①}}$である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\boxed{\text{①}}$である．$p\text{，}$$q$を$0\leqq p\leqq 1\text{，}$$0\leqq q\leqq 1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{AB}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\boxed{\text{②}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\boxed{\text{③}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

と表されるので，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\boxed{\text{④}}$となる．また，${\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|}^2$は$q$を用いて${\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|}^2=\boxed{\text{⑤}}$と表される．さらに，${\left|\overrightarrow{\mathrm{EF}}\right|}^2$は$p\text{，}$$q$を用いて${\left|\overrightarrow{\mathrm{EF}}\right|}^2=\boxed{\text{⑥}}$と表される．したがって，$p\text{，}$$q$が$0\leqq p\leqq 1\text{，}$$0\leqq q\leqq 1$の範囲で動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{EF}}\right|$の最小値は$\boxed{\text{⑦}}$である．

(1)　${1234}_{(5)}$と${2341}_{(5)}$を$10$進法で表すと，それぞれ$\boxed{\text{①}}$と$\boxed{\text{②}}$である．${1234}_{(5)}+{2341}_{(5)}$を$5$進法で表すと${\boxed{\text{③}}}_{(5)}$である．

(2)　$10$進法で表された${123}^{2018}$の一の位の数字は$\boxed{\text{④}}$である．さらに，${123}^{2018}$を$5$進法で表すとき，一の位の数字は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(3)　$10$進法で表されたある自然数は，$7$進法では$2$桁の${ab}_{(7)}$となり，また，$5$進法では$2$桁の${ba}_{(5)}$となる．この自然数は$\boxed{\text{⑥}}$である．