2018　関西大　法・経済・政策・外国語・総合情報2月6日実施MathJax

(1)　この球面の中心の座標と半径は，それぞれ$(\boxed{\text{①}},\boxed{\text{②}},\boxed{\text{③}})$と$\boxed{\text{④}}$である．

(2)　平面$x+y-z=4$がこの球面の中心を通るときの$a$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．

　すべての実数$x$に対して，等式

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-x)\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (\boxed{\text{①}}x)+\boxed{\text{②}}\}$

が成り立つから

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-x)\sin x\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+x)=\boxed{\text{③}}\sin (\boxed{\text{④}}x)$

が成り立つ．よって，

$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{9}}\sin {\displaystyle \frac{2}{9}}\pi \sin {\displaystyle \frac{4}{9}}\pi =\boxed{\text{⑤}}$

である．また，すべての実数$x$に対して，等式

$\sin x\cos x=\boxed{\text{⑥}}\sin (\boxed{\text{⑦}}x)$

が成り立つ．よって，

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{9}}\cos {\displaystyle \frac{2}{9}}\pi \cos {\displaystyle \frac{4}{9}}\pi =\boxed{\text{⑧}}$

である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-p)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+p\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-q)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+q\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

と表される．ただし，$0<p<1\text{，}0<q<1$である．このとき，$p\text{，}q$を$t$を用いて表し，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{OR}$の延長が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．点$\mathrm{S}$が辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分するときの$t$の値を求めよ．