2018　関西大　文系学部2月4日実施MathJax

【１】　平面上の曲線$C\text{：}y=x^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}x$上に点$\mathrm{P}(t,t^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}t)$をとる．ただし，$t$は実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$l$の共有点のうち，$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{Q}$における$C$の接線が$l$と直交するときの$t$の値をすべて求めよ．

【２】　実数の等比数列について，以下の$\boxed{}$を数値でうめよ．ただし，数値は既約分数で答えよ．

(1)　初項が$270\text{，}$公比が$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，第$7$項は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　初項が$5\text{，}$第$4$項が$320$のとき，公比は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　公比が${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$第$5$項が$6$のとき，初項は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　初項が$3\text{，}$公比が$-2$のとき，$768$は第$\boxed{\text{④}}$項である．

(5)　第$5$項が$12\text{，}$第$9$項が$60$のとき，初項は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　小数第$k$位までの有限小数は，${\displaystyle \frac{\text{整数}}{{10}^k}}$の形に表される．例えば，$0.321={\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{{10}^3}}$である．$10$の素因数は小さい順に$\boxed{\text{②}}\text{，}\boxed{\text{③}}$であるから，${\displaystyle \frac{\text{整数}}{{10}^k}}$の分母の素因数は$\boxed{\text{②}}$と$\boxed{\text{③}}$だけである．逆に，整数でない既約分数において，分母の素因数に$\boxed{\text{②}}$と$\boxed{\text{③}}$以外がなければ，分母と分子に$\boxed{\text{②}}\text{，}\boxed{\text{③}}$を何個か掛けて${\displaystyle \frac{\text{整数}}{{10}^k}}$の形にすることができる．

　$2^k<100$を満たす最大の正の整数$k$は$\boxed{\text{④}}$である．$2\leqq n\leqq 1000$を満たす整数$n$の中で，${\displaystyle \frac{1}{n}}$が有限小数となるものは$\boxed{\text{⑤}}$個ある．これらの有限小数の中で，ちょうど小数第$3$位で終わるものは$\boxed{\text{⑥}}$個ある．