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2018-14991-1001
2018 関西大学 全学部日程・センター中期
システム理工・環境都市工
・化学生命工学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 関数
f⁡( x)= x⁢e -x ( x≧ 0 )
について,次の問いに答えよ.
(1) 関数 f⁡( x) の極値を求めよ.
(2) 曲線 y= f⁡( x) の変曲点の x 座標を求めよ.
(3) 曲線 y= f⁡( x) と x 軸および直線 x =1 で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ.
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【2】 次の を,すべて自然数でうめよ.
(1) 5 12= 14 + 1 6 より,
cos⁡ 5 12⁢ π = ① - ② 4
である.
(2) i を虚数単位とし,複素数
α= ① - ② +( ① + ② ) ⁢i
を考える. αn が正の実数であるような最小の自然数 n は ③ である.また α の ③ 乗は ④ 桁の整数である.ただし, log10 ⁡2= 0.3010 とする.
(3) α を(2)で定めた複素数とし, β=cos ⁡ π10 +i⁢sin ⁡ π10 とおく. m ,n がすべての整数を動くとき,
αn⁢ βm 4n
は,全部で ⑤ 個の複素数の値をとる.これら ⑤ 個のうち,虚数であって偏角 θ が最小のものを γ とおく.ここで,偏角 θ は 0 ≦θ<2 ⁢π の範囲で考える.
γ= α βm 4
となるための必要十分条件は,整数 m を ⑥ で割ったときの余りが ⑦ となることである.ここで, ⑦ に入る自然数はただひとつとする.
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【3】 θ を媒介変数として
x=( 1-cos⁡ θ) ⁢cos⁡ θ ,y= (1- cos⁡θ )⁢sin ⁡θ ( 0≦ θ≦2 ⁢π )
で表される曲線 C を考える.次の問いに答えよ.
(1) θ の関数 x =(1 -cos⁡θ )⁢ cos⁡θ の導関数を求めよ.
(2) θ の関数 y =(1 -cos⁡θ )⁢sin ⁡θ ( 0<θ< 2⁢π ) の極値を求めよ.
(3) 曲線 C 全体の長さ L を求めよ.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 数列 { an } が a1= 1 , 1an +1 = 2an +1 ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ ) で定義されているとき,一般項は an= ① である.
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(2) 複素数 α , β ,γ が x についての恒等式 ( x-α) ⁢(x -β) ⁢(x -γ) =x3 +x+1 を満たすとき, α3 +β3 +γ3 の値は ② である.
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(3) 1 辺の長さが 1 の正方形 OABC において辺 CB を 2 :1 に内分する点を D とする. ∠AOD の二等分線に関して点 A と対称な点を P とする.このとき, OP→ は OA→ , OB→ を用いて OP→= ③ ⁢ OA→ + ④ ⁢ OB→ と表される.
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(4) 1 から 7 までの番号をつけた 7 枚のカードから 4 枚を取り出す.取り出した 4 枚のカードの番号の中で 2 番目に大きなものを A , 取り出さなかった 3 枚のカードの番号の中で最も大きなものを B としたとき, B>A となる確率は ⑤ である.
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数学入試問題さんの解答(PDF)へ
(5) 実数 x , y が x 216 + y24 =1 を満たしながら変化するとき, ( x-1) 2+ 4⁢ (y- 1) 2 の最大値は ⑥ であり,最小値は ⑦ である.