2018　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^3}}$について，次の$\boxed{}$をうめよ．

　$f(x)$を微分すると，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{①}}$だから，曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式は

$y=f^{\prime }(a)x+{\displaystyle \frac{2(\boxed{\text{②}})}{a^3}}$

である．さらに$f(x)$の極小値は$\boxed{\text{③}}$で，極大値は$\boxed{\text{④}}$である．

　$y=f(x)$のグラフは原点に関して対称であることに注意すると，$y=f(x)$のグラフの第$1$象限にある部分と第$3$象限になる部分にそれぞれ$1$つずつ接点をもつ接線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{⑤}}$であり，その$2$つの接点の$x$座標は$x=\boxed{\text{⑥}}$である．

　$f(x)$の不定積分は

${\displaystyle \int }f(x)dx=\boxed{\text{⑦}}+C$（$C$は積分定数）

だから，曲線$y=f(x)$と接線$l\text{：}y=\boxed{\text{⑤}}$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【２】　漸化式$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_n=a_{n-1}(2-a_{n-1})\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$について，次の$\boxed{}$をうめよ．

$a_2={\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{①}}}-1}{2^{\boxed{\text{①}}}}}\text{，}{a}_3={\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{②}}}-1}{2^{\boxed{\text{②}}}}}\text{，}{a}_4={\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{③}}}-1}{2^{\boxed{\text{③}}}}}$

と表されるので，一般項は

$a_n={\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{④}}}-1}{2^{\boxed{\text{④}}}}}$

と表されることが予想される．実際

$\left({\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{④}}}-1}{2^{\boxed{\text{④}}}}}\right)(2-{\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{④}}}-1}{2^{\boxed{\text{④}}}}})={\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{⑤}}}-1}{2^{\boxed{\text{⑤}}}}}$

が成り立つことがわかるので，数学的帰納法によって確かめることができる．ここで，${\log }_2(1-a_n)=\boxed{\text{⑥}}$であることから，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{{\log }_2(1-a_n)}}=\boxed{\text{⑦}}$

である．

【３】　複素数平面上の図形について，次の$\boxed{}$をうめよ．

　実部が${\displaystyle \frac{1}{2}}$で虚部が正の複素数$z_0$について，直線$l$を$|z-1|=|z-z_0|$を満たす$z$の全体とし，$l$は原点$\mathrm{O}$を通るとする．$z_0$の虚部は$\boxed{\text{①}}$である．

　円$C_1$を$\left|z\right|=1$を満たす$z$の全体とする．$l$が$z_0$と実数$1$の中点を表す複素数${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(\boxed{\text{②}})$を通ることに注意すると，$l$と$C_1$の交点を表す複素数のうち実部が負のものは$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{③}})$である．

　$C_1$に内接し，$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{③}})$をひとつの頂点とする正三角形を$T$とする．$T$の辺と$l$の交点を複素数で表すと，$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{③}})$と${\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{④}})$である．

　点$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{③}})$を中心とし，${\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{④}})$を通る円$C_2$の面積は$\boxed{\text{⑤}}$である．また$C_2$と$T$の辺との交点を複素数で表すと，${\displaystyle \frac{3-2\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{⑥}})i$と${\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{2}}-\boxed{\text{⑦}}i$である．ただし$\boxed{\text{⑥}}\text{，}\boxed{\text{⑦}}$は実数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　座標平面の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(-2,1)\text{，}\mathrm{B}(-4,8)$に対して，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線上の点$\mathrm{P}(x,y)$は，直線の方程式$y=\boxed{\text{①}}$を満たす．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　関数

$f(x)={\cos }^{2}x+\sin x\cos x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

は$x=\boxed{\text{②}}$のとき，最大値$\boxed{\text{③}}$をとる．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　数列$\{a_n\}$は，初項$a_1=1\text{，}$公比$r\text{（}0<r<1\text{）}$の等比数列である．無限級数

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\log a_n\log a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{\log a_2\log a_3}}+{\displaystyle \frac{1}{\log a_3\log a_4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\log a_n\log a_{n+1}}}+\cdots$

の和が$4$であるとき，$r$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$a$を実数とする．$a=\boxed{\text{⑤}}$のとき，

$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{4x^2+x}+ax)$

は有限な値$\boxed{\text{⑥}}$をとる．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　${10}^{n!}-1$が$81$の倍数であるような自然数$n$のうち，最小のものは$\boxed{\text{⑦}}$である．