2019　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を定数とし，関数$f(x)\text{，}g(x)$をそれぞれ

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx-a\text{，}g(x)=4x-5$

と定める．曲線$y=f(x)$および直線$y=g(x)$をそれぞれ$C\text{，}L$とする．$C$と$L$は$3$つの異なる共有点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をもち，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$x=-2\text{，}x=1$である．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．

(3)　$C$と$L$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$は定数で，$a>0\text{，}b>0$および$0\leqq c<2\pi$とする．関数$f(x)$を$f(x)=a\sin (bx+c)$と定める．また，

$f(0)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{f}^{\prime }(0)=0\text{，}{f}^{″}(0)=2$

とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．また，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}f(x)dx$の値を求めよ．

【３】　各項が正の数である数列$\{a_n\}$がある．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，定数$p$を用いて$S_n=p{n}^2+n$で表されるとする．また，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{(3n-1)(2n+3)}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

とする．

(1)　$p$の値を求めよ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

【４】　複素数平面上の円$C_1$を，$2$点$\mathrm{A}(-2)\text{，}\mathrm{B}(3)$からの距離の比が$3:2$である点$\mathrm{P}(z)$全体の表す図形とする．

(1)　$C_{\mathrm{!}}$の中心と半径を求めよ．

(2)　$i$を虚数単位とし，$w=i(z-4-3i)$とする．点$z$が円$C_1$上を動くとき，点$w$の描く図形$C_2$は円となる．$C_2$の中心と半径を求めよ．

(3)　(1)，(2)で求めた円$C_1\text{，}{C}_2$の中心をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．円$D$を，直線$\mathrm{QR}$上に中心があり，$C_1$および$C_2$に内接する円とする．$D$の中心と半径を求めよ．

【５】　右の図の立方体$\mathrm{OAEB}‐\mathrm{CFDG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$s\text{，}t$を実数とするとき，内積

$(s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$

を求めよ．

(2)　平面$\alpha$と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．