2019　帯広畜産大学　前期総合問題

【９】　点$(0,-1)$と点$(0,1)$をそれぞれ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で表す．直線$L\text{：}y=ax+b$は点$\mathrm{A}$を通り，直線$L$と曲線$C\text{：}y=x^2$は共有点$\mathrm{D}$$(x_1,y_1)$と共有点$\mathrm{E}$$(x_2,y_2)$をもつ．三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の面積を$S_1$とし，三角形$\mathrm{ABE}$の外接円の面積を$S_2$とする．また，$\mathrm{\angle DAB}$の大きさを$\theta$で表し，$0<x_1\leqq x_2$とする．次の各問に答えなさい．

問１(1)　$b$の値を求めなさい．

(2)　$a$を$x_1$の式で表しなさい．

(3)　$a$の値の範囲を求めなさい．

問２　$x_1=x_2$とする．

(1)　$x_1$と$y_1$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

(3)　$\tan \theta$と$\tan 2\theta$の値をそれぞれ求めなさい．

問３　$x_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(1)　$y_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_2$および$\sin \theta$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{BE}$の長さをそれぞれ求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の方程式を求めなさい．

(4)　${\log }_2{S}_2-{\log }_2{S}_1$の値を求めなさい．

【10】　関数$g(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$の導関数$g^{\prime }(x)$を$h(x)$とおく．関数$f(x)=x^2-4x$と関数$h(x)$を用いて

$y=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{（}x<0\text{，}3<x\text{）}\\ h(x)& \text{（}0\leqq x\leqq 3\text{）}\end{array}$

で表される曲線を$C_0$とし，直線$L$の方程式を$y=(t-4)x$とする．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数であり，$t>0$とする．次の各問に答えなさい．

問１　$a=1$とし，関数$g(x)$は$x=3$で極小値$0$をとる．

(1)　$b$と$c$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$-1\leqq x\leqq 3$における関数$g(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めなさい．

(3)　点$(0,-3)$から曲線$y=h(x)$に引いたすべての接線の方程式をそれぞれ求めなさい．

問２　$a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$b=1\text{，}$$c=0$とし，直線$L$と曲線$C_0$は異なる$3$つの共有点をもつ．また，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq h(x)\\ y\geqq (t-4)x\end{array}\text{，}$$\{\begin{array}{l}y\geqq f(x)\\ y\leqq h(x)\\ y\leqq (t-4)x\end{array}\text{，}$$\{\begin{array}{l}y\geqq f(x)\\ y\geqq h(x)\\ y\leqq (t-4)x\end{array}$

の表す領域の面積をそれぞれ$t$の関数として$S_1(t)\text{，}$$S_2(t)\text{，}$$S_3(t)$とする．

(1)　関数$h(x)$を求めなさい．

(2)　$t$の値の範囲を求めなさい．

(3)　$S_1(t)+S_2(t)$の値を求めなさい．

(4)　$S_2(t)+S_3(t)$を$t$の式で表しなさい．

(5)　$S_1(t)=S_3(t)$となるような$t$の値を求めなさい．