2019　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$a$は定数で$a>1$とし，点$(a,0)$を通る傾き$m$の直線と円$x^2+y^2=1$とが異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わる．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$m$の値の範囲を求めよ．

問２　問１で求めた範囲を$m$が動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求めよ．

【２】　$n$を正の整数とし，$f_n(x)=e^{-x}(1+{\displaystyle \frac{x}{1}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^n}{n!}})$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　第$2$次までの導関数${f_n}^{\prime }(x)$と${f_n}^{″}(x)$を求めよ．

問２　$n\geqq 2$のとき，${\displaystyle {\int }_1^n}\log xdx<\log 2+\log 3+\cdots +\log n$が成り立つことを示せ．

問３　$n\geqq 1$のとき，すべての正の実数$x$に対し，$-{\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq {f_n}^{\prime }(x)<0$が成り立つことを示せ．

【３】　$\alpha$を，虚部が$0$でない複素数とする．複素数平面上で$3$点$0\text{，}$$\alpha \text{，}$${\alpha }^2$を通る円を$C$とし，$C$の中心の複素数を$\beta$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$\beta$を$\alpha \text{，}\bar{\alpha }$を用いて表せ．

問２　点${\alpha }^3$は$C$上にないことを示せ．

問３　${\displaystyle \frac{{\alpha }^3}{\beta }}$の実部が正となるとき，$\alpha$の満たす条件を求めよ．

問４　$0$でないどんな実数$t$に対しても点$t{\alpha }^3$が$C$上にないとき，点$\alpha$全体の集合を複素数平面上に図示せよ．

【４】　$2$つの数列$\{p_n\}\text{，}\{q_n\}$は次の漸化式を満たしている．

$\{\begin{array}{c}{p}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{q}_n-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ q_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n+{\displaystyle \frac{3}{4}}{q}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$p_n+q_n=p_1+q_1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

問２　一般項$p_n$を$p_1\text{，}{q}_1$を用いて表せ．

問３　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{p}_n$が収束し，和が$1$となるように，$p_1$と$q_1$の値を定めよ．

問４　問２，問３で求めた数列$\{p_n\}$について，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}n{p}_n$の和を求めよ．ただし，$\left|r\right|<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$であることは，証明なしに用いてよい．