2019　東北大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$a$は$0$でないとする．$xy$平面上の直線$y=ax$と放物線$y=x^2+a$が相異なる$2$点$\mathrm{P}(b,ab)\text{，}\mathrm{Q}(c,ac)$で交わっているとする．$c=b^2\text{，}b<0$のとき，$a$と$b$を求めよ．

【２】　$a$を$1$ではない正の実数，$n$を正の整数とする．次の不等式を考える．

${\log }_a(x-n)>{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_a(2n-x)$

(1)　$n=6$のとき，この不等式を満たす整数$x$をすべて求めよ．

(2)　この不等式を満たす整数$x$が存在するための$n$についての必要十分条件を求めよ．

(注)理系では，冒頭「$a$を$1$ではない正の実数とし，$\cdots$」

【３】　数列$\{a_n\}$を次の漸化式によって定める．

$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_{n+2}{a}_n=2{a_{n+1}}^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　すべての正の整数$n$について，$a_n$は正であることを示せ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．金貨と銀貨を含む$n$枚の硬貨を同時に投げ，裏が出た金貨は取り去り，取り去った金貨と同じ枚数の銀貨を加えるという試行の繰り返しを考える．初めは$n$枚すべてが金貨であり，$n$枚すべてが銀貨になった後も試行を繰り返す．$k$回目の試行の直後に，$n$枚の硬貨のなかに金貨が$j$枚だけ残る確率を$P_k(j)\text{（}0\leqq j\leqq n\text{）}$で表す．

(1)　$P_1(j)$を求めよ．

(2)　$P_k(j)\text{（}k\geqq 2\text{）}$を求めよ．

(3)　$n=3$とする．$2$回目の試行の直後では金貨が少なくとも$1$枚残るが，$3$回目の試行の直後には$3$枚すべてが銀貨になる確率を求めよ．

【１】　$xy$平面における曲線$y=\sin x$の$2$つの接線が直交するとき，その交点の$y$座標の値をすべて求めよ．

【３】　$a$を実数とし，数列$\{x_n\}$を次の漸化式によって定める．

$x_1=a\text{，}{x}_{n+1}=x_n+{x_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a>0$のとき，数列$\{x_n\}$が発散することを示せ．

(2)　$-1<a<0$のとき，すべての正の整数$n$に対して$-1<x_n<0$が成り立つことを示せ．

(3)　$-1<a<0$のとき，数列$\{x_n\}$の極限を調べよ．

【４】　実数を係数にもつ整式$A(x)$を$x^2+1$で割った余りとして得られる整式を$[A(x)]$と表す．

(1)　$[2x^2+x+3]\text{，}$$[x^5-1]\text{，}$$[[2x^2+x+3][x^5-1]]$をそれぞれ求めよ．

(2)　整式$A(x)\text{，}B(x)$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

$[A(x)B(x)]=[[A(x)][B(x)]]$

(3)　実数$\theta$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

$[{(x\sin \theta +\cos \theta )}^2]=x\sin 2\theta +\cos 2\theta$

(4)　次の等式を満たす実数$a\text{，}b$の組$(a,b)$をすべて求めよ．

$[{(ax+b)}^4]=-1$

【５】(1)　次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\displaystyle \frac{{\sin }^2(\pi x)}{1+e^x}}dx={\displaystyle {\int }_0^1}{\sin }^2(\pi x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}$

(2)　次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$(1+e^x)f(x)={\sin }^2(\pi x)$$+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}(e^x-e^t+1)f(t)dt$

【６】　$10$個の玉が入っている袋から$1$個の玉を無作為に取り出し，新たに白玉$1$個を袋に入れるという試行を繰り返す．初めに，袋には赤玉$5$個と白玉$5$個が入っているとする．この試行を$m$回繰り返したとき，取り出した赤玉が全部で$k$個である確率を$p(m,k)$とする．$2$以上の整数$n$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)　$p(n+1,2)$を$p(n,2)$と$p(n,1)$を用いて表せ．

(2)　$p(n,1)$を求めよ．

(3)　$p(n,2)$を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部