2019　東北大学　後期MathJax

${\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-ax|dx={\displaystyle \frac{1}{3}}$

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，接線$l_1\text{，}{l}_2$の傾きをそれぞれ求めよ．

(2)　放物線$C$と接線$l_1\text{，}{l}_2$の接点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とする．${\mathrm{▵PQ}}_1{\mathrm{Q}}_2$の面積が$8$となるような点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

(1)　辺$\mathrm{OA}$上を動く点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{BC}$上を動く点$\mathrm{Q}$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．

(2)　点$\mathrm{R}$が$\mathrm{▵ABC}$の内部および辺上を動くとする．(1)で求めた$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\theta$とする．内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$が最大となるような$\cos \theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

　以下の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を同時に満たすようなすべての表の個数を$A_{n,k}$とする．

(ⅰ)　$1\leqq a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_k\leqq n$

(ⅱ)　$1\leqq b_1\leqq b_2\leqq \cdots \leqq b_k\leqq n$

(ⅲ)　$a_i<b_i$と$a_j>b_j$を満たすような$i\text{，}j$が存在する．

以下の問いに答えよ．

(1)　$A_{n,2}$を求めよ．

(2)　$A_{n,k}$が偶数であることを示せ．

(3)　$A_{3,3}$を求めよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，接線$l_1\text{，}{l}_2$の傾きをそれぞれ求めよ．

(2)　放物線$C$と接線$l_1\text{，}{l}_2$の接点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とし，接線$l_1\text{，}{l}_2$と$x$軸の交点をそれぞれ${\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{R}}_2$とする．また原点$(0,0)$を$\mathrm{O}$とする．$2$つの線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{OR}}_1$と放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，$2$つの線分${\mathrm{Q}}_2{\mathrm{R}}_2\text{，}{\mathrm{OR}}_2$と放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．面積の和$S_1+S_2$が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標と$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

(1)　次の等式が成り立つことを示せ．

$\{1+2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\cos (kx)\}\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}=\sin \left(\right(n+{\displaystyle \frac{1}{2}}\left)x\right)$

(2)　次の方程式の解$x$をすべて求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}\cos (kx)=0$

(1)　異なる$2$つの実数$x\text{，}y$に対して，次の関数を考える．

$p(t)=(1-t)f(x)+tf(y)-$$f((1-t)x+ty)$$\text{（}t\text{は実数）}$$\cdots \text{①}$

このとき

$p^{\prime }(0)>0\text{，}$$p^{\prime }(1)<0$

が成り立つことを示せ．

(2)　$0<t<1$を満たす実数$t$に対して，$\text{①}$で与えた関数$p(x)$の値が正であることを示せ．

(3)　$a<b<c<d$を満たす実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$f(d-a)+f(c-b)>f(d-b)+f(c-a)$

(ⅰ)　$1$回目の試行において表が出たとき，$a_1=0$とする．

(ⅱ)　$1$回目の試行において裏が出たとき，$a_1=1$とする．

(ⅲ)　$n\geqq 2$について，$n$回目の試行において表が出たとき，$a_n=a_{n-1}$とする．

(ⅳ)　$n\geqq 2$について，$n$回目の試行において裏が出たとき，$a_n=a_{n-1}+2^{n-1}$とする．

以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{10}$が$2^{10}$を$3$で割った商に等しくなったとき，$1$回目から$10$回目の試行におけるコインの表裏の出方を求めよ．

(2)　$1$回目から$100$回目の試行においてコインの表がちょうど$4$回出たとき，$a_{100}$が${\displaystyle \frac{2^{100}}{3}}$より小さくなる条件付き確率を求めよ．

(1)　次の等式が成立することを示せ．

${|z_1{w}_1+z_2{w}_2|}^2$$=({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2)({\left|w_1\right|}^2+{\left|w_2\right|}^2)$$-{|z_1\overline{w_2}-z_2\overline{w_1}|}^2$

(2)　$2$つの等式

$\begin{array}{ccc}{|z_1{w}_1+z_2{w}_2|}^2=& ({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2)({\left|w_1\right|}^2+{\left|w_2\right|}^2)& \cdots \text{①}\\ \hfill \left|z_1\right|=& \left|w_1\right|\hfill & \cdots \text{②}\end{array}$

が成り立つとき，$2$つの直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$は平行であることを示せ．

(3)　$2$つの等式$\text{①}$，$\text{②}$が成り立ち，$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が同一直線上にないならば，これらの$4$点はある直線に関して対称な四角形の頂点となることを示せ．