2019　東北大学　AOⅡ期理学部数学系MathJax

$\{\begin{array}{l}l\leqq m\leqq n\\ 2^n-2^m+2^l=2018\end{array}$

(1)　$\beta \text{，}$$\gamma$を通る直線を$l\text{，}$$\alpha$を通って$l$に垂直な直線を$m$とする．$l$と$m$の交点$z$は

$z={\displaystyle \frac{\alpha (\bar{\beta }-\bar{\gamma })+\bar{\alpha }(\beta -\gamma )+\bar{\beta }\gamma -\beta \bar{\gamma }}{2(\bar{\beta }-\bar{\gamma })}}$

により与えられることを示せ．

(2)　(1)において$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=\left|\gamma \right|=1$とするとき，$z$は

$z={\displaystyle \frac{\alpha +\beta +\gamma -\bar{\alpha }\beta \gamma }{2}}$

と表されることを示せ．

(3)　$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=\left|\gamma \right|=1$とする．このとき$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を頂点とする三角形が，二等辺三角形になるための必要十分条件は

$\alpha \beta \gamma ({\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3)-{\alpha }^3{\beta }^3-{\beta }^3{\gamma }^3$$-{\gamma }^3{\alpha }^3=0$

であることを示せ．

$l_1\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}{l}_2$

を満たしている．このとき頂点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$のうち少なくとも$1$つは長方形$\mathrm{ABCD}$の外部にあることを示せ．

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}{x}^n)\mathit{dx}\text{，}$$J_n={\displaystyle {\int }_0^1}\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}{x}^n)\mathit{dx}$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　次の等式を示せ．

$I_n=-{\displaystyle \frac{3}{2\pi n}}+{\displaystyle \frac{3}{\pi n}}{J}_n$

(2)　$\theta \geqq 0$に対して次の不等式を示せ．

$1-\cos \theta \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{\theta }^2$

(3)　次の不等式を示せ．

$0\leqq 1-J_n\leqq {\displaystyle \frac{{\pi }^2}{18(2n+1)}}$

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n$を求めよ．

$f(xy)=f(x)+f(y)$

を満たすとする．

(1)　$f(1)$を求めよ．

(2)　すべての正の実数$a$に対して$f(x)$が$x=a$で微分可能であることを示せ．

(3)　$f(x)$を求めよ．