2019　東北大学　AOⅡ期工学部MathJax

(ⅰ)　ボールが$\mathrm{A}$にある場合には，事象$X$が起きたときはボールを$\mathrm{B}$に移し，それ以外のときには何もしない．

(ⅱ)　ボールが$\mathrm{B}$にある場合には，事象$Y$が起きたときはボールを$\mathrm{A}$に移し，それ以外のときには何もしない．

この作業を，図１および図２に示すように，$n$回繰り返したあとに，ボールが$\mathrm{A}$に入っている確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

問１　$2$枚のコインを同時に投げるとき，事象$X$が起きる確率を$x$とし，事象$Y$が起きる確率を$y$とする．$x$と$y$を求めよ．

問２　$p_1$を求めよ．

問３　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

問４　$p_n$を$n$の式で表せ．

問５　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

(ⅰ)　$f(1)=0$

(ⅱ)　$f(2)=1$

(ⅲ)　$0<x<y$を満たす実数$x\text{，}$$y$について，$f(x)<f(y)$

(ⅳ)　正の実数$x\text{，}$$y$について，$f(xy)=f(x)+f(y)$

このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1.41<\sqrt{2}<1.42$である．

問１　正の整数$n$について，$f(2^n)=n$であることを示せ．

問２　正の実数$x$について，$f(\sqrt{x})={\displaystyle \frac{f(x)}{2}}$であることを示せ．

問３　$n<f(100)<n+1$を満たす整数$n$の値を求めよ．

問４　$1.5<f(3)<1.75$であることを示せ．