2019　東北大学　AOⅡ期医（医学科），歯学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$において，次の$2$つの条件(a)と(b)は同値であることを示せ．

(a)　$\mathrm{AC}\perp \mathrm{OB}$

(b)　${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{OC}}^2={\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{OA}}^2$

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\{\log (2x+1)\}}^2\mathit{dx}$

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$a$は実数とする．次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+a^{2n})}^{\frac{1}{n}}$

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$m$は$ab<0\text{，}$$m>0$を満たす実数とする．$xy$平面において，点$\mathrm{A}$$(a,b)$を通り，$\overrightarrow{d}=(1,m)$に平行な直線を$l$とする．直線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．

【３】　$a_n=n^{10}+15n^8$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$ $\cdots \text{）}$とし，$a_n$を$100$で割ったときの余りを$b_n$とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$1$つのさいころを$3$回投げるとき，出た目の最小値が$1$で最大値が$5$となる確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$において，次のことが成り立つことを示せ．

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{OC}}^2={\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{OA}}^2$ならば$\mathrm{AC}\perp \mathrm{OB}$

【２】　$f(x)=-x^3+3x^2-3$とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　　次の方程式を満たす整数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

$x^3+x^2-xy+x+y+4=0$

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．次の等式が成り立つとき，$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

$S_n=2a_n+3n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$