2019　秋田大学　前期

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　定積分${\displaystyle {\int }_{-2}^2}|-2x+2|dx$を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅱ)　関数$f(x)=x^3-2x^2+ax+3$が$x-3$で割り切れるとき，定数$a$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅲ)　$2$直線$y=-2x\text{，}$$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めなさい．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】　$a$は定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-4ax+3a^2$について，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフの頂点を求めなさい．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積が$8$となるように，$a$の値を定めなさい．ただし，$a>0$とする．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq 10$において，関数$y=f(x)$の最大値が$100$となるように，$a$の値を定めなさい．

【３】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{n}^3-{\displaystyle \frac{5}{2}}{n}^2+{\displaystyle \frac{1}{6}}n$

で表されるとき，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　次の和を求めなさい．

$a_{11}+a_{12}+a_{13}+\cdots +a_{20}$

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(ⅲ)　$a_n>100$を満たす最小の自然数$n$を求めなさい．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵OQR}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{AG}$が平面$\mathrm{PQR}$と交わる点を$\mathrm{F}$とする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{PF}}=k\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+l\overrightarrow{\mathrm{PR}}$（$k\text{，}$$l$は実数）と表したとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$k\text{，}$$l$を用いて表しなさい．

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$（$r\text{，}$$s\text{，}$$t$は実数）と表したとき，$r\text{，}$$s\text{，}$$t$の値を求めなさい．

【５】　関数$y={\displaystyle \frac{6+4\sin \theta +4\cos \theta +\sin 2\theta }{2+\sin \theta +\cos \theta }}$について，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$t=2+\sin \theta +\cos \theta$として，$\sin \theta \cos \theta$を$t$の関数で表しなさい．

(ⅱ)　(ⅰ)の$t$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(ⅲ)　$y$の最小値を求めなさい．

【６】　次の問いに答えなさい．ただし，$\log$は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$m\text{，}$$n$は定数とし，$f(x)=\log (\log x)\text{，}$$g(x)=m{(\log x)}^2+n$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が$x=e$において共有点をもち，かつ$x=e$において共通の接線をもつように，$m\text{，}$$n$の値を定めなさい．

(ⅱ)　次の定積分を求めなさい．

$\text{①}$　${\displaystyle {\int }_e^{e^2}}x\log xdx$

$\text{②}$　${\displaystyle {\int }_e^{e^2}}{\displaystyle \frac{1}{x\log x}}dx$

$\text{③}$　${\displaystyle {\int }_e^{e^2}}{\displaystyle \frac{\log (\log x)}{x\log x}}dx$

【７】　$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚のカードが箱に入っている．この箱からカードを$1$枚取り出し，番号を確認してからもとに戻す．この試行を$3$回続けて行い，取り出したカードの番号を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$とする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$a_1<a_2<a_3$となる確率を求めなさい．

(ⅱ)　$(a_1-a_2)(a_2-a_3)(a_3-a_1)=0$となる確率を求めなさい．

(ⅲ)　$a_1{a}_2-a_2{a}_3+a_3{a}_1=0$となる確率を求めなさい．

【８】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を次のように定義する．

$a_1=1\text{，}$$b_1=\sqrt{3}\text{，}$$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n-\sqrt{3}{b}_n\\ b_{n+1}=\sqrt{3}{a}_n+b_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

(ⅰ)　複素数$a_1+b_{1}i$を極形式で表しなさい．

(ⅱ)　すべての自然数$n$に対して，次の等式が成り立つことを示しなさい．

$a_n+b_{n}i={(1+\sqrt{3}i)}^n$

(ⅲ)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(ⅳ)　自然数$n$に対して，実数$x_n\text{，}$$y_n$を

$x_n+y_{n}i=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)(a_n+b_{n}i)$

により定める．${\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}$の最小値を求めなさい．

【９】　自然数$n$の各位の数の和を$S(n)$で表す．たとえば，

$S(2019)=2+0+1+9=12$

である．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$n+S(n)=100$を満たす$n$を求めなさい．

(ⅱ)　$S(n)=100$を満たす最小の$n$を求めなさい．

(ⅲ)　$n\leqq 27S(n)+2019$を満たす最大の$n$を求めなさい．

志望別問題選択一覧

国際資源学部　【１】，【４】，【５】，【６】

教育文化（理数教育コース除く）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

教育文化（理数教育コース）学部　【１】，【４】，【５】，【６】

医学部 　【６】，【７】，【８】，【９】

理工学部　【１】，【４】，【５】，【６】