2019　福島大学　前期

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすとする．$f(t)=|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最小値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$3\cos 2\theta +4\sin \theta$の最大値と最小値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　方程式${\log }_2(x+3)-{\log }_4(x+6)=1$を解きなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$297x+139y=1$をみたす整数の組$(x,y)$を一組求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$\{\begin{array}{l}y=x^3-x^2\\ y=2x\end{array}$で囲まれた図形のうち，$x\geqq 0$の部分の面積を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　$x$を実数とし，数列$\{a_n\}$を$a_n={\left({\displaystyle \frac{5x+1}{x^2+5}}\right)}^n$で定める．ただし，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$であるような$x$の範囲を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　表が出る確率が${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$裏が出る確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるコインがある．このコインを$3$回表が出るまで投げ続けるとき，以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　投げる回数が丁度$3$回である確率を求めなさい．

(ⅱ)　投げる回数が丁度$5$回である確率を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　$a$を正の実数とする．複素数

$z={\displaystyle \frac{{(1+i)}^3{(a-i)}^2}{\sqrt{2}{(a-3i)}^2}}$

の絶対値が${\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとき以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　$a$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$z$の偏角$\theta$の大きさを求めなさい．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$が平行，垂直になるような$m$をそれぞれ求めなさい．

$l_1\text{：}mx+y=1\text{，}$$l_2\text{：}(m+1)x+my=3$

【４】　次の問いに答えなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$とする．$\mathrm{\angle BAC}=\theta$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\sin \theta$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$\sin 3\theta$の値を求めなさい．

(ⅲ)　辺$\mathrm{BC}$を延長した直線上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{\angle BAC}=\mathrm{\angle CAD}$となるようにとる．$\mathrm{CD}$の長さを求めなさい．

【５】(1)　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　関数$y=|x^2-x-6|$のグラフを描きなさい．

(ⅱ)　$c$を実数とするとき，方程式$|x^2-x-6|=c$の実数解の個数を調べなさい．

【５】(2)　次の問いに答えなさい．

(ⅱ)　$x^4-2x^2-8x-3={(x^2+a)}^2+b{(x+c)}^2$が恒等式となるような整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めなさい．

(ⅱ)　方程式$x^4-2x^2-8x-3=0$を複素数の範囲で解きなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{\sin x+2\cos x}{2\sin x-\cos x}}$を微分しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の等式を満たす実数$a\text{，}$$b$を求めなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

${\displaystyle \frac{1+3i}{2+i}}=a+bi$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　異なる$3$つのさいころを同時に投げて，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$3$辺の長さとする二等辺三角形（正三角形を含む）を作ることができる確率を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$x^4+4x^3+5x^2+2x$を因数分解しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(5)　七進法で表された次の数の計算の結果を七進法で表しなさい．

${14520}_{(7)}÷{110}_{(7)}$

【２】　等差数列$50,48,46,44,\cdots$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　この等差数列の一般項$a_n$を求めなさい．

(2)　この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$の値が最大となる$n$の値をすべて求めなさい．また，このときの$S_n$の値を求めなさい．

【３】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(3,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(15,7)\text{，}$$\mathrm{C}$$(6,6)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$を，それぞれ求めなさい．

(2)　直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BC}$の交点$\mathrm{E}$の座標を求めなさい．

(3)　直線$\mathrm{AD}$の方程式を求めなさい．

(4)　点$\mathrm{F}$が$x$軸上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{FB}}\right|$の最小値を求めなさい．

【４】　関数$f(x)=k{x}^3-x$がある．$y=f(x)$のグラフと$x$軸との$3$つの交点を$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(c,0)$$\text{（}a<b<c\text{）}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標を，それぞれ求めなさい．

(2)　$y=f(x)$と点$\mathrm{B}$で接する直線$l_1$の方程式と，$y=f(x)$と点$\mathrm{C}$で接する直線$l_2$の方程式を，それぞれ求めなさい．また，直線$l_1$と直線$l_2$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{BPC}$の面積を$S_1\text{，}$$y=f(x)$のグラフと線分$\mathrm{BC}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，$S_1$と$S_2$を，それぞれ求めなさい．また，

$\underset{k\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$

の値を求めなさい．ただし，点$\mathrm{P}$は，上の(2)で求めた直線$l_1$と直線$l_2$の交点とする．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　赤玉$6$個，黒玉$5$個，白玉$4$個が入っている袋から$4$個の玉を取り出すとき，赤玉が$1$個，黒玉が$1$個，白玉が$2$個出る確率を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(x-2,x)$が平行になるように$x$の値を定め，$\overrightarrow{b}$の大きさを求めなさい．

【２】　$2$次関数$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$について次の問いに答えなさい．

(1)　$x=1$における微分係数をその定義にしたがって求めなさい．

(2)　この関数のグラフ上の点$\mathrm{P}$$(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線と点$\mathrm{Q}$$(-1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線とが$90\mathrm{°}$で交わることを示しなさい．

(3)　$2$次関数$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$のグラフとこれら$2$つの接線で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【３】　$-100$以上，$200$以下の整数の集合を$S$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$S$の要素で，$2$で割ると$1$余り，$3$で割ると$2$余る数を，小さい数から順に並べた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　$S$の要素で，$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$4$余る数を，大きい数から順に並べた数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　集合$S$の要素で，上記の$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$に共通して現れるものを求めなさい．

【４】　発芽率が$2$年毎に半減する$\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\text{になる}\right)$種子がある．ここで，発芽率は下記の式で定める．

※　$\text{発芽率}={\displaystyle \frac{\text{発芽した種子数}}{\text{すべての種子数}}}$

現在の発芽率は$b_0$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　現在から$8$年後の発芽率を，$b_0$を用いて表しなさい．

(2)　発芽率$b_0$が$\left({\displaystyle \frac{1}{100}}\right)b_0$になる年数を，小数第$5$位を四捨五入して，小数第$4$位まで求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．