2019　福島大学　後期

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の不定積分を求めなさい．

${\displaystyle \int }x\cos 2x\mathit{dx}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$x$が不等式$4^x+2^x-6\leqq 0$を満たすとき，$2^x$の値の範囲を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　${(x+2y)}^5$を展開しなさい．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2-2x+3$と直線$l\text{：}y=2x-k$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　放物線$C$と直線$l$が接するとき，定数$k$の値を求めなさい．

(2)　放物線$C$と直線$l$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わるとする．このとき，線分$\mathrm{AB}$の長さが$3$となる定数$k$の値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$6$で割ると$1$余るような$3$桁の自然数のうち，最大のものを求めなさい．

(2)　$6$で割ると$1$余り，$11$で割ると$5$余るような$3$桁の自然数のうち，最大のものを求めなさい．

(3)　$6$で割ると$4$余り，$11$で割ると$9$余り，$7$で割ると$5$余るような$3$桁の自然数のうち，最大のものを求めなさい．

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に点$\mathrm{A}$$(1,0)$と$y$軸上を動く点$\mathrm{P}$$(0,p(t))$がある．$\mathrm{\angle OAP}=\theta (t)$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$t>0\text{，}$$p(t)>0$とする．

(1)　$p(t)$を，$\theta (t)$を用いて表しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{d\theta (t)}{\mathit{dt}}}$を，${\displaystyle \frac{dp(t)}{\mathit{dt}}}$と$\theta (t)$を用いて表しなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$が$p(1)=1\text{，}$${\displaystyle \frac{dp(t)}{\mathit{dt}}}=1$を満たすように動くとき，

${\displaystyle {\int }_1^{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{d\theta (t)}{\mathit{dt}}}\right)}^2\mathit{dt}$

を求めなさい．

【５】　箱の中に$9$枚のカードが入っている．$9$枚のカードには$1$から$9$までの整数が$1$つずつ書いてある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．「箱の中から無作為にカードを$1$枚取り出し，書かれてある整数を記録し，取り出したカードを箱の中に戻す」という試行を$n$回おこなう．この$n$回の試行で記録された$n$個の整数の和が偶数である確率を$P_n$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$P_1\text{，}$$P_2$を，それぞれ求めなさい．

(2)　$P_{n+1}$を，$P_n$を用いて表しなさい．

(3)　$P_n$を，$n$を用いて表しなさい．

【１】　開花率が${\displaystyle \frac{4}{5}}$の苗があるとする．ここで，開花率は下記の式で定める．

※　$\text{開花率}={\displaystyle \frac{\text{開花した苗数}}{\text{すべての苗数}}}$

　このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$4$つの苗を植えたとき，すべて開花する確率を求めなさい．

(2)　$4$つの苗を植えたとき，ひとつも開花しない確率を求めなさい．

(3)　$4$つの苗を植えたとき，$3$つ以上，開花する確率を求めなさい．

【２】　関数$f(x)=x^3-a{x}^2+bx+2b+2$は，$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x-1}}=2$を満たす．また，$x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しい．このとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

【３】　$2$地点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$から用水路を隔てた対岸の$2$地点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を観測し，次の値を得た．

$\mathrm{AB}=20\mathrm{m}$

$\mathrm{\angle CAB}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle CBA}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle DAB}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle DBA}=75\mathrm{°}$

このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{AB}$の長さ$[\mathrm{m}]\text{，}$観測した角度$[\mathrm{°}]$とともに，$4$地点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を図示しなさい．

(2)　$\mathrm{BD}$および$\mathrm{BC}$の長さ$[\mathrm{m}]$を求めなさい．

(3)　$\mathrm{CD}$の長さ$[\mathrm{m}]$を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　$100$以上，$200$以下の$3$の倍数の個数と，それらの和を求めなさい．

(2)　初項を$3\text{，}$項数を$n$として，$3$の倍数の和$S_n$を，$n$を用いて表しなさい．