2019　筑波大学　前期

【１】　$k>0\text{，}$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．放物線$C\text{：}y=x^2-kx$と直線$l\text{：}y=(\tan \theta )x$の交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{P}$とする．放物線$C$の点$\mathrm{O}$における接線を$l_1$とし，点$\mathrm{P}$における接線を$l_2$とする．直線$l_1$の傾きが$-{\displaystyle \frac{1}{3}}$で，直線$l_2$の傾きが$\tan 2\theta$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k$を求めよ．

(2)　$\tan \theta$を求めよ．

(3)　直線$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{\angle PQO}=\alpha$（ただし$0\leqq \alpha \leqq \pi$）とするとき，$\tan \alpha$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$M$は正の実数とする．${\displaystyle \frac{x}{a}}\text{，}$${\displaystyle \frac{y}{b}}\text{，}$${\displaystyle \frac{z}{c}}$がすべて$M$以下であるとき，

${\displaystyle \frac{x+y+z}{a+b+c}}\leqq M$

であることを示せ．

(2)　${\log }_{2}5$と${\log }_{3}5$の大小関係を比較せよ．

(3)　$n$が正の整数のとき，

${\displaystyle \frac{1+{\log }_{2}5+{({\log }_{2}5)}^n}{1+{\log }_{3}5+{({\log }_{3}5)}^n}}<2^n$

であることを示せ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$について，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$および$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}$が成り立つとする．$0<s<1\text{，}$$0<t<1$を満たす実数$s\text{，}$$t$に対し，辺$\mathrm{OA}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{BG}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となる点$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$をとり，線分$\mathrm{EF}$と線分$\mathrm{DG}$が$1$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$t=s$であることを示し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{EF}}\perp \overrightarrow{\mathrm{DG}}$であるとき，$\cos \theta$を$s$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{EF}}\perp \overrightarrow{\mathrm{DG}}$かつ$\sqrt{3}\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であるとき，$s$の値を求めよ．

【４】　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲において，関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=1+\sin x\text{，}$$g(x)=-1-\cos x$

と定める．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲において，$|f(x)|=|g(x)|$を満たす$x$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)\text{，}$曲線$y=g(x)\text{，}$直線$x=0$および直線$x=\pi$で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$を$a_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$t>0$のとき，$1\leqq {\displaystyle \frac{e^t-1}{t}}\leqq e^t$であることを示せ．

(2)　数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}\text{，}$$\{z_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{x}_n=\log (e^{a_n}+1)\\ y_n=\log (e^{a_n}-1)\\ z_n=y_n+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

で定める．$z_n$は$n$によらない定数であることを示せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}\log \left({\displaystyle \frac{e^{a_k}+1}{2}}\right)$を求めよ．

【６】　${\left|z\right|}^2+3=2(z+\bar{z})$を満たす複素数$z$全体の集合を$A$とする．ただし$\bar{z}$は$z$の共役複素数である．

(1)　集合$A$を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$A$の要素$z$の偏角を$\theta$とする．ただし$-\pi <\theta \leqq \pi$とする．$z$が$A$を動くとき，$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$z^{60}$が正の実数となる$A$の要素$z$の個数を求めよ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【２】から１題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学III選択者　【４】か【５】か【６】から2題選択

人間学群

　教育学類，心理学類 　【１】，【２】，【３】必須，【４】，【５】，【６】から1題選択

障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　　数学III選択者　【４】〜【６】から2題選択

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類，地球学類　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【６】必須

理工学群

　数学類，物理学類，化学類，応用理工学類，工学システム学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【６】必須

　社会工学類

　　　【１】〜【３】から1題選択，【４】〜【６】必須

情報学群

　情報科学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【５】必須

　情報メディア創成学類

　　　【１】，【２】から1題選択，【３】〜【６】必須

　知識情報・図書館学類

　　選択１　【２】〜【６】から2題選択

　　選択２　【１】，【３】〜【６】から2題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から2題選択