2019　筑波大学　後期理工学群

【１】　$xy$平面内において$4py=x^2$（ただし$p>0$）で表される放物線$C$およびその線上を動く点$\mathrm{Q}$$(a,{\displaystyle \frac{a^2}{4p}})$（ただし$a>0$とする）について，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線$T$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$を通り，問(1)で求めた接線$T$に垂直な直線$N$の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$を通る直線で，その直線が直線$N$となす角が，直線$N$が$y$軸となす角と等しくなるもののうち$y$軸に平行でないものを$L$とする．直線$L$は，$a$の値によらずに，ある$1$点を通ることを示し，その点を求めよ．

(4)　問(3)で得られた直線$L$と放物線$C$とで囲まれる領域の面積を求めよ．さらに，$a$が変化するとき，その面積の最小値を与える$a$の値と，その面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において$3$点$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,4)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を${\mathrm{G}}_1\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$の重心を${\mathrm{G}}_2$とする．線分$\mathrm{C}{\mathrm{G}}_1$と線分$\mathrm{O}{\mathrm{G}}_2$とが$1$点で交わることを示せ．その交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表し，点$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{I}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の球面を$S_1$とする．また，線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{MG}$を$1:t$（ただし$0<t<1$）に外分する点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-2}{4}}$の球面$S_2$が球面$S_1$と外接しているとき，$t$の値と球面$S_2$の方程式を求めよ．

(3)　球面$S_1$と球面$S_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　点$\mathrm{R}$を直線$\mathrm{GQ}$上の点とするとき，$2$点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{I}$の距離が最小となる点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【３】　複素数$\alpha$は${\alpha }^6=64$を満たし，かつ，実部と虚部がともに正とする．また，複素数$z$に共役な複素数を$\bar{z}$で，複素数$z$の絶対値を$\left|z\right|$で表す．以下の問いに答えよ．ただし，虚数単位$i\text{，}$実数$x\text{，}$$y$を用いて$z$を$z=x+iy$と表すものとする．

(1)　$\alpha$を求めよ．

(2)　複素数平面上の$\left|z\right|=|z-2|$を満たす点の集合を$C_1$とする．$C_1$の満たす方程式を$x\text{，}$$y$を用いて表し，その概形を複素数平面上に図示せよ．

(3)　複素数平面上の$|x+\bar{\alpha }|=k|z-\bar{\alpha }|$を満たす点の集合を$C_2$とする．$C_2$を満たす方程式を$x\text{，}$$y\text{，}$$k$を用いて表し，その概形を複素数平面上に図示せよ．ただし，$k$は実数で$0<k\leqq 1$とする．

(4)　$C_1$と$C_2$の共有点を表す複素数をすべて求めよ．

(5)　複素数$\beta$は$k=1$の場合の$C_2$上の点に対応し，かつ，実部が正とする．このとき${(z-\beta )}^6=64$の解の$1$つが$\alpha$になるような$\beta$の値を求めよ．