2019　筑波大学　推薦理工学群数学類

【１】　余弦定理

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

を証明せよ．ただし，答案のはじめに文字$a\text{，}$$b\text{，}$$c$および$A$がそれぞれ何を表すかを説明すること．

【２】　$s\text{，}$$t$を整数とし，$s\ne 0$とする．また，$m$は正の整数とする．数列$\{a_n\}$は初項$a_1=s(t+2)\text{，}$公差$2s$の等差数列であるとし，正の整数$n$について$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．$n$が正の整数を動くとき，$S_n$は$n=m$と$n=m+1$で最大値$M$をとるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$t$を$m$を用いて表せ．

(2)　最大値$M$は正の偶数であることを示せ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$0$でない定数とし，$f(x)=|a\sin x+b\sin 2x+c\sin 3x|$とする．正の実数$R$に対し，連立不等式$0\leqq x\leqq R\text{，}$$0\leqq y\leqq f(x)$の表す$xy$平面の領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V(R)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を正の整数とする．$V(2\pi n)$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{R\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V(R)}{R}}$を求めよ．