2019　筑波大学　推薦医学群医学類

【１】　$0<x<\pi$において

$\sin 2x-{\displaystyle \frac{1}{15}}<\sin x+{\displaystyle \frac{\sin 3x}{3}}<\sin 2x+2$

が成立することを証明しなさい．

【２】　$3$次方程式$2x^3-3x^2-3x+9=0$は正の実数解をもたないことを示しなさい．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を整数とする．$4$次方程式$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+32=0$が互いに異なる$4$つの有理数の解$x_1<x_2<x_3<x_4$をもつとき，解の組$(x_1,x_2,x_3,x_4)$をすべて求めなさい．

【４】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，座標空間内に$3$点${\mathrm{A}}_1$$(0,0,1)\text{，}$${\mathrm{A}}_2$$(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_3$$(-\cos \theta ,\sin \theta ,0)$と$xy$平面上を動く点$\mathrm{B}$$(x,y,0)$をとる．$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$を含む平面を$\alpha$とするとき，以下の問に答えなさい．

問１　平面$\alpha$と直交し大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{h}$を求めなさい．

問２　点$\mathrm{B}$から平面$\alpha$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$\left|\mathrm{BP}\right|$とかくとき，${\left|\mathrm{BP}\right|}^2$を求めなさい．

問３　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$かつ，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$を結ぶ線分の長さ$\left|\mathrm{OB}\right|$が$\left|\mathrm{BP}\right|$に等しいとする．このとき，点$\mathrm{B}$の軌跡を$xy$平面上に図示しなさい．