2019　筑波大学　推薦理工学群応用理工学類

【問題２　問１】　以下の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{(x+1)}^2{e}^{-(x+1)}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(2)　$\tan x=t$と置換することで，定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{1}{{\tan }^{2}x}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

【問題２　問２】　$f(x)=x{e}^{-\frac{x^2}{2}}$に関する以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値と極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$をそれぞれ求めよ．$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$2$直線$x=1\text{，}$$y=-e^{-\frac{1}{2}}$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【問題３　問１】　$n$を自然数とするとき，次の不等式に関して以下の問いに答えよ．

$3^n>2n^2-n+3$

(1)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3$のとき，この不等式が成り立つかそれぞれ調べよ．

(2)　$n$が$3$以上のとき，数学的帰納法によって不等式が成り立つことを証明せよ．

【問題３　問２】　空間内の$2$点$\mathrm{A}$$(t,1-t,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2t,0,t)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$を$t$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を直径の両端とする球面の方程式を求めよ．

(3)　(2)の球の体積が最小になるときの$t$とそのときの体積を求めよ．

【問題３　問３】　$3$次方程式$x^3=1$の$3$つの異なる解を$1\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，虚部が正であるものを$\alpha$とし，虚数単位を$i$とせよ．

(1)　${\alpha }^2=\beta$であることを示せ．

(2)　$1+\alpha +\beta$を求めよ．

(3)　整式$f(x)={(x^4+1)}^4+{(x^2+1)}^4+1$が$x^2+x+1$で割り切れるかどうか調べよ．