2019　東京医科歯科大学　前期

【１】　$n$を$2$以上の自然数とし，ひとつのサイコロを$n$回くり返し投げるとする．$n$以下の自然数$k$について，$k$回目に$1$から$4$の目が出たら$a_k=1\text{，}5$または$6$の目が出たら$a_k=0$として，数列$\{a_k\}$を定義する．さらに数列$\{b_k\}$を，$b_1=0\text{，}2$以上$n$以下の自然数$k$について$b_k=(a_k+a_{k-1})(2-a_k-a_{k-1})$と定義する．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$k$を$2$以上$n$以下の自然数とする．$b_k=0$となる確率を求めよ．

(2)　$b_2=b_3=\cdots =b_n=1$となる確率を$n$を用いて表せ．

(3)　$n$が$5$以上のとき，$S_n={\displaystyle \frac{b_2}{2}}+{\displaystyle \frac{b_3}{2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{b_n}{2^{n-1}}}$とおく．このとき${\displaystyle \frac{5}{8}}\leqq S_n<{\displaystyle \frac{15}{16}}$となる確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の角の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C\text{，}$対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表す．また$a\text{，}b\text{，}c$は，この順で正または$0$の公差をもつ等差数列をなすとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$C={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき，$\cos A$の値を求めよ．

(2)　$C=2A$のとき，$\cos A$の値を求めよ．

(3)　$C=A+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$\cos A$の値を求めよ．

【３】　$a$と$b$を実数として，$xy$平面において，$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=x^4-x^2$

$C_2\text{：}y=a(x^2-1)$

および直線

$l\text{：}y=b$

を考える．ただし$C_1$と$l$は相異なる$4$点で交わるとする．また，$C_1$と$C_2$は$0<x_0<1$となる交点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$をひとつもつとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．また$x_0\text{，}{y}_0$を$a$を用いて表せ．

(2)　$b$のとりうる値の範囲を求めよ．また$C_1$と$l$の交点の$x$座標を$b$を用いて表せ．

(3)　$C_1$と$l$で囲まれる領域のうち，$y\leqq b$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_1$とする．$V_1$を$b$を用いて表せ．

(4)　$b=y_0$として，$C_2$と$l$で囲まれる領域のうち，$y\leqq y_0$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_2$とする．$3V_1=V_2$のとき，$a$の値を求めよ．

【１】　$n$を$5$以上の自然数とし，ひとつのコインを$n$回くり返し投げるとする．$n$以下の自然数$k$について，$k$回目にコインの表が出たら$a_k=1\text{，}$裏が出たら$a_k=0$として，数列$\{a_k\}$を定義する．さらに数列$\{b_k\}$を，$b_1=0\text{，}2$以上$n$以下の自然数$k$について$b_k$は$a_k+a_{k-1}$を$2$で割った余りと定義する．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$b_2=0$となる確率を求めよ．

(2)　$b_2=b_3=b_4=b_5=1$となる確率を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \frac{b_2}{2}}+{\displaystyle \frac{b_3}{2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{b_n}{2^{n-1}}}$とおく．このとき$S_n\geqq {\displaystyle \frac{5}{8}}$となる確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の角の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C\text{，}$対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表す．また$a\text{，}b\text{，}c$は，この順で正または$0$の公差をもつ等差数列をなすとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　ひとつの角の大きさが${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$\cos A$の値を求めよ．

(2)　$C={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき，$\cos A$の値を求めよ．

(3)　$C=2A$のとき，$\cos A$の値を求めよ．