2019　東京農工大学　前期

【１】　$t$は$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{P}$$(3\cos t,3\sin t,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(-\sin 2t,-\cos 2t,1)\text{，}$$\mathrm{R}$$(1,-1,1)$がある．平面$z={\displaystyle \frac{2}{3}}$と直線$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{S}$とする．次の問いに答えよ．

[1]　点$\mathrm{S}$の座標を$t$の式で表せ．

[2]　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$の大きさの最大値と最小値を求めよ．また，最大値を与える$t$の値と最小値を与える$t$の値を求めよ．

[3]　直線$\mathrm{OR}$が平面$\mathrm{OPQ}$に垂直であるときの$t$の値を求めよ．また，このときの四面体$\mathrm{OPQR}$の体積を求めよ．

【２】　複素数平面において点$\mathrm{O}(0)$を中心とする半径${\displaystyle \frac{3}{2}}$の円を$C$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，$w=z+{\displaystyle \frac{3}{4z}}$を満たす点$w$が描く図形を$F$とする．次の問いに答えよ．

[1]　図形$F$を図示せよ．

[2]　図形$F$上の点$\mathrm{A}(\alpha )$と$2$点$\mathrm{P}(\sqrt{3})\text{，}$$\mathrm{Q}(-\sqrt{3})$が$\mathrm{\angle PAQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たし，$\alpha$の実部と虚部がともに正の数であるとする．

(1)　複素数$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$\alpha =\beta +{\displaystyle \frac{3}{4\beta }}$を満たし，円$C$上にはない点$\beta$を求めよ．

【３】　$xy$平面上に曲線

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log x)}^2$$\text{（}x>0\text{）}$がある．ただし，対数は自然対数とし，自然対数の底を$e$とする．次の問いに答えよ．

[1]　曲線$C$の凹凸を調べ，変曲点を求めよ．

[2]　$t>0$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{A}$$(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log t)}^2)$における接線の方程式および法線の方程式を求めよ．

[3]　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(\sqrt{e},{\displaystyle \frac{1}{8}})$における接線と点$\mathrm{P}$で接し，かつ$x$軸に接するような異なる$2$つの円が存在する．この$2$つの円の中心をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$とするとき，線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の長さを求めよ．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|e^t(t^2-2xt+x^2-1)|\mathit{dt}$

で定める．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

[1]　$f(x({\displaystyle \frac{3}{2}})$の値を求めよ．

[2]　$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値を与える$x$の値と最小値を与える$x$の値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることを用いてよい．