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2019-10265-0101
2019 東京農工大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 t は 0 ≦t≦ π 2 を満たす実数とする. O を原点とする座標空間に 3 点 P ( 3⁢cos⁡ t,3⁢ sin⁡t, 0) , Q ( -sin⁡2 ⁢t,- cos⁡2⁢ t,1 ) , R ( 1,-1 ,1) がある.平面 z =2 3 と直線 PQ の交点を S とする.次の問いに答えよ.
[1] 点 S の座標を t の式で表せ.
[2] ベクトル OS → の大きさの最大値と最小値を求めよ.また,最大値を与える t の値と最小値を与える t の値を求めよ.
[3] 直線 OR が平面 OPQ に垂直であるときの t の値を求めよ.また,このときの四面体 OPQR の体積を求めよ.
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【2】 複素数平面において点 O⁡ (0 ) を中心とする半径 32 の円を C とする.点 z が円 C 上を動くとき, w=z+ 3 4⁢z を満たす点 w が描く図形を F とする.次の問いに答えよ.
[1] 図形 F を図示せよ.
[2] 図形 F 上の点 A⁡ (α ) と 2 点 P⁡ ( 3) , Q⁡ (- 3 ) が ∠PAQ = π2 を満たし, α の実部と虚部がともに正の数であるとする.
(1) 複素数 α の値を求めよ.
(2) α=β + 34⁢ β を満たし,円 C 上にはない点 β を求めよ.
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【3】 x⁣y 平面上に曲線
C:y =1 2⁢ ( log⁡x )2 ( x>0 ) がある.ただし,対数は自然対数とし,自然対数の底を e とする.次の問いに答えよ.
[1] 曲線 C の凹凸を調べ,変曲点を求めよ.
[2] t>0 とする.曲線 C 上の点 A (t , 12 ⁢ (log⁡ t)2 ) における接線の方程式および法線の方程式を求めよ.
[3] 曲線 C 上の点 P (e , 18 ) における接線と点 P で接し,かつ x 軸に接するような異なる 2 つの円が存在する.この 2 つの円の中心をそれぞれ Q1 , Q2 とするとき,線分 Q1 Q2 の長さを求めよ.
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【4】 関数 f⁡( x) を
f⁡( x)= ∫ 01 |e t⁢( t2- 2⁢x⁢ t+x2 -1) |⁢ dt
で定める.次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.
[1] f⁡( x( 32 ) の値を求めよ.
[2] -1≦ x≦1 における f⁡( x) の最大値と最小値を求めよ.また,最大値を与える x の値と最小値を与える x の値を求めよ.ただし, 2<e <3 であることを用いてよい.