2019　東京農工大学　後期工学部

【１】　$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．

[1]　$a_n={\displaystyle \frac{2^n+5^{n-1}}{3}}$とおく．$a_n$が整数であることを証明せよ．

[2]　条件$1\leqq p\leqq 2n\text{，}$$-{\displaystyle \frac{p}{2}}\leqq q\leqq {\displaystyle \frac{2^p+5^{p-1}}{3}}$を満たす整数$p\text{，}$$q$を座標とする点$(p,q)$の個数を$b_n$とする．

(1)　$b_2$を求めよ．

(2)　$b_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=e^{\sqrt{3}(2\cos x-1)}\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

[1]　$f(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

[2]　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．