2019　東京工業大学　前期

【１】(1)　$h>0$とする．座標平面上の点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{P}(h,s)\text{，}$点$\mathrm{Q}(h,t)$に対して，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．ただし，$s<t$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の辺$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}\text{，}\mathrm{PQ}$の長さをそれぞれ$p\text{，}q\text{，}r$とするとき，不等式

$p^2+q^2+r^2\geqq 4\sqrt{3}S$

が成り立つことを示せ．また，等号が成立するときの$s\text{，}t$の値を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$の表面積を$T\text{，}$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とし，辺$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{CD}$の長さをそれぞれ$l\text{，}m\text{，}n$とする．このとき，不等式

$a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2\geqq 2\sqrt{3}T$

が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのは四面体$\mathrm{ABCD}$がどのような四面体のときか答えよ．

【２】　次の等式が$1\leqq x\leqq 2$で成り立つような関数$f(x)$と定数$A\text{，}B$を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}}|\log y|f(xy)dy=3x(\log x-1)+A+{\displaystyle \frac{B}{x}}$

　ただし，$f(x)$は$1\leqq x\leqq 2$に対して定義される連続関数とする．

【３】　$i$を虚数単位とする．実部と虚部が共に整数であるような複素数$z$により${\displaystyle \frac{z}{3+2i}}$と表される複素数全体の集合を$M$とする．

(1)　原点を中心とする半径$r$の円上またはその内部に含まれる$M$の要素の個数を$N(r)$とする．このとき，集合$\{r|10\leqq N(r)<25\}$を求めよ．

(2)　複素数平面の相異なる$2$点$z\text{，}w$を結ぶ線分を$L(z,w)$で表すとき，$6$つの線分$L(0,1)\text{，}$$L(1,1+{\displaystyle \frac{i}{2}})\text{，}$$L(1+{\displaystyle \frac{i}{2}},{\displaystyle \frac{1+i}{2}})\text{，}$$L({\displaystyle \frac{1+i}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+i)\text{，}$$L({\displaystyle \frac{1}{2}}+i,i)\text{，}L(i,0)$で囲まれる領域の内部または境界に含まれる$M$の要素の個数を求めよ．

【４】　$H_1\text{，}\cdots \text{，}{H}_n$を空間内の相異なる$n$枚の平面とする．$H_1\text{，}\cdots \text{，}{H}_n$によって空間が$T(H_1,\cdots ,H_n)$個の空間領域に分割されるとする．例えば，空間の座標を$(x,y,z)$とするとき，

●平面$x=0$を$H_1\text{，}$平面$y=0$を$H_2\text{，}$平面$z=0$を$H_3$とすると$T(H_1,H_2,H_3)=8\text{，}$

●平面$x=0$を$H_1\text{，}$平面$y=0$を$H_2\text{，}$平面$x+y=1$を$H_3$とすると$T(H_1,H_2,H_3)=7\text{，}$

●平面$x=0$を$H_1\text{，}$平面$x=1$を$H_2\text{，}$平面$y=0$を$H_3$とすると$T(H_1,H_2,H_3)=6\text{，}$

●平面$x=0$を$H_1\text{，}$平面$y=0$を$H_2\text{，}$平面$z=0$を$H_3\text{，}$平面$x+y+z=1$を$H_4$とすると$T(H_1,H_2,H_3,H_4)=15\text{，}$

である．

(1)　各$n$に対して$T(H_1,\cdots ,H_n)$のとりうる値のうちもっとも大きいものを求めよ．

(2)　各$n$に対して$T(H_1,\cdots ,H_n)$のとりうる値のうち$2$番目に大きいものを求めよ．ただし$n\geqq 2$とする．

(3)　各$n$に対して$T(H_1,\cdots ,H_n)$のとりうる値のうち$3$番目に大きいものを求めよ．ただし$n\geqq 3$とする．

【５】　$a={\displaystyle \frac{2^8}{3^4}}$として，数列

$b_k={\displaystyle \frac{{(k+1)}^{k+1}}{a^{k}k!}}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．

(1)　関数$f(x)=(x+1)\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$は$x>0$で減少することを示せ．

(2)　数列$\{b_k\}$の項の最大値$M$を既約分数で表し，$b_k=M$となる$k$をすべて求めよ．