2019　東京工業大学　工学院AO総合問題

　$\mathrm{O}$を原点とする平面内に大きさが$0$でなく平行でない二つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を考える．このとき，点${\mathrm{P}}_k$の位置ベクトルを$\overrightarrow{p_k}=X_k\overrightarrow{a}+Y_k\overrightarrow{b}$と表記すると，点${\mathrm{P}}_k$の座標情報は$X_k$と$Y_k$を用いて表すことができる．

　ここで，図１−１のように二つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$として，$\overrightarrow{a}=(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$を用いる．$Y_k$の代わりに一つの実数$Y_0$を用いて，位置ベクトルが$\overrightarrow{q_k}=X_k\overrightarrow{a}+Y_0\overrightarrow{b}$と表される点${\mathrm{Q}}_k$を点${\mathrm{P}}_k$の近似点とする．点${\mathrm{Q}}_k$の座標情報は$X_k$と$Y_0$を用いて表すことができるので，点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$の座標情報の近似として点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{Q}}_n$の座標情報を$\theta \text{，}$$Y_0\text{，}$$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_n$の$n+2$個の実数値で送信できる．なお，点${\mathrm{P}}_k$と点${\mathrm{Q}}_k$の距離を誤差と呼ぶ．このとき，次の問に答えよ．

問１　ベクトル$\overrightarrow{a}$とベクトル$\overrightarrow{b}$が直交することを示せ．

問２　ベクトル$\overrightarrow{a}$とベクトル$\overrightarrow{b}$の大きさを求めよ．

問３　$Y_k$の代わりに$Y_0$を用いることによる誤差$e_k=|\overrightarrow{p_k}-\overrightarrow{q_k}|$を$Y_k$と$Y_0$を用いて表せ．

問４　$Y_k$を$x_k\text{，}$$y_k$および$\theta$を用いて表せ．

問５　誤差$e_k$の平方の和を

$J={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{e_k}^2$

とする．ここで，$J$を$Y_0$の関数$F(Y_0)$と考え，$F(Y_0)$を最小にする$Y_0$を$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta \text{，}$$\bar{x}$および$\bar{y}$を用いて表せ．ただし，

$\bar{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k\text{，}$$\bar{y}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{y}_k$

とする．なお$\theta$は$Y_0$の関数ではないので，$F(Y_0)$を$Y_0$で微分するときに$\theta$は定数と考えてよい．

問６　$S_x\text{，}$$S_y$および$S_{xy}$を

$S_x={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(x_k-\bar{x})}^2\text{，}$$S_y={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(y_k-\bar{y})}^2\text{，}$$S_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(x_k-\bar{x})(y_k-\bar{y})$

とする．問５で求めた$Y_0$を用いると$J$は$\theta$だけの関数$G(\theta )$となる．ここで，$G(\theta )$が極値をとるときの$\tan 2\theta$を$S_x\text{，}$$S_y$および$S_{xy}$を用いて表せ．ただし，$S_x\ne S_y$とする．

問７　図１−２のように，$n=4$で，

$(x_1,y_1)=(\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{2}},2)\text{，}$$(x_2,y_2)=(-\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}$

$(x_3,y_3)=(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+1)\text{，}$$(x_4,x_4)=(1,-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+1)$

のとき，誤差の平方の和$J$を最小にする$Y_0$と$\theta$$\text{（}0\leqq \theta <\pi \text{）}$を求めよ．ただし，問５で求めた$F(Y_0)$を最小にする条件によって定まる$Y_0$と，問６の$G(\theta )$を最小にする$\theta$において，$J$も最小となる．