2019　お茶の水女子大学　前期MathJax

【１】　座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とおく．$\mathrm{P}$を円$C$の周上の点として，$L_{\mathrm{P}}$を点$\mathrm{P}$における円$C$の接線とする．直線$L_{\mathrm{P}}$は座標平面を$2$つの領域に分割するが，そのうちの原点$\mathrm{O}$を含むほうの領域を$D_{\mathrm{P}}$とおく．ただし，領域$D_{\mathrm{P}}$には境界は含まれていないものとする．

(1)　座標平面上の点$\mathrm{A}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}<1$は，点$\mathrm{A}$が領域$D_{\mathrm{P}}$に含まれるための必要十分条件であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$(a,b)$とおく．ただし，$a\ne 0$とする．領域$D_{\mathrm{P}}$が$2$次関数$y={\displaystyle \frac{1}{4a}}{(x-a)}^2$のグラフ上の点をすべて含むとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲を求め，図示せよ．

【２】　集合$\mathrm{A}$を

$A=\left\{c\right|\begin{array}{c}c\text{は正の整数で，少なくとも}1\text{つの整数}b\text{に対して}\\ x^2-2bx+c=0\text{が異なる}2\text{つの整数解をもつ}\end{array}\}$

と定め，$A$の要素を小さい順に並べてできる数列を$c_1\text{，}$$c_2\text{，}$$c_3\text{，}$$\cdots$とする．

(1)　$1\notin A\text{，}$$2\notin A$を示せ．

(2)　$3\in A\text{，}$すなわち$c_1=3$であることを示せ．

(3)　$c_2$を求めよ．

(4)　$c_{30}$を求めよ．

【３】　$x$についての$3$次方程式

$x^3+a{x}^2+b=0\cdots$(A)

を考える．ただし，$a\text{，}$$b$は実数とする．

(1)方程式(A)の異なる実数解はいくつあるか．$a\text{，}$$b$の条件によって分類せよ．

(2)　方程式(A)が異なる$3$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$をもち，不等式

$(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)<0$

が成立するような$a\text{，}$$b$について，$a\text{，}$$b$を座標とする点$(a,b)$の存在範囲を求め，図示せよ．

【２】　集合$\mathrm{A}$を

$A=\left\{c\right|\begin{array}{c}c\text{は正の整数で，少なくとも}1\text{つの整数}b\text{に対して}\\ x^2-2bx+c=0\text{が異なる}2\text{つの整数解をもつ}\end{array}\}$

と定め，$A$の要素を小さい順に並べてできる数列を$c_1\text{，}$$c_2\text{，}$$c_3\text{，}$$\cdots$とする．

(1)　$1\notin A\text{，}$$2\notin A$を示せ．

(2)　$3\in A\text{，}$すなわち$c_1=3$であることを示せ．

(3)　$c_2$を求めよ．

(4)　$c_{100}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{x}^3{t}^2\sin (xt)\mathit{dt}$

$-10\leqq x\leqq 10$において$f(x)$を最大にする$x$の値をすべて求めよ．