2019　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

(1)　漸近線$l$の方程式を書け．

(2)　$t$を正の実数とする．$y$軸上の点$(0,t)$を通り漸近線$l$に平行な直線を$l_t$で表す．直線$l_t$と曲線$C$との交点を${\mathrm{P}}_t$とするとき，点${\mathrm{P}}_t$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$t$を用いた式で表せ．

(3)　曲線$C$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$は第一象限にあるとし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$を通り漸近線$l$に平行な直線の$y$軸との交点の$y$座標を$p$を用いた式で表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸と曲線$C$で囲まれた図形の面積を$p$を用いた式で表せ．

$a_n+a_{n+2}\geqq 2a_{n+1}$

を満たしているとする．

(1)　すべての自然数$n$に対して次の不等式が成立することを示せ．

${\displaystyle \frac{a_n+a_{n+2}+a_{n+4}}{3}}\geqq {\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_{n+3}}{2}}$

(2)　すべての自然数$n$と$k$に対して次の不等式が成立することを示せ．

${\displaystyle \frac{a_n+a_{n+2}+a_{n+4}+\cdots +a_{n+2k}}{k+1}}$$\geqq {\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_{n+3}+a_{n+5}+\cdots +a_{n+2k-1}}{k}}$

$f(x\times y)=f(x)\times f(y)$

が成り立っているものとする．また，関数$f(x)$は$x=1$で微分可能であるとする．

(1)　値$f(1)$を求めよ．

(2)　すべての正の実数$x$に対して$f(x)>0$となることを示せ．

(3)　関数$f(x)$がすべての正の実数$x$で微分可能であることを示せ．

(4)　$f^{\prime }(1)=a$であるとき，$a$を用いて${(\log f(x))}^{\prime }$を表せ．

(5)　$f^{\prime }(1)=a$であるとき，$a$を用いて$f(x)$を表せ．