2019　お茶の水女子大学　後期MathJax

【１】　実数$k$に対して方程式$xy=k$の表す座標平面上の図形を$C_k$とする．実数全体で定義された連続関数$f(x)$について，$y=f(x)$のグラフ$C$が，どの実数$k$に対しても$C_k$とちょうど$1$つの共有点をもつとき，関数$f(x)$は条件(A)を満たすということにする．

(1)　$C_0\text{，}$$C_1\text{，}$$C_{-1}$を座標平面上に図示せよ．

(2)　条件(A)を満たす関数$f(x)$について，$x\ne 0$のとき$f(x)\ne 0$となることを示せ．

(3)　条件(A)を満たす関数$f(x)$について，$x\ne 0$のとき$f(x)$の符号は$x$によらず一定であることを示せ．

(4)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$2$次関数$g(x)=x^2+ax+b$が条件(A)を満たすための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

(5)　条件(A)を満たす関数$h(x)$で次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をともに満たすものの具体例を$1$つ挙げよ．

(ⅰ)　$0<\left|s\right|<\left|t\right|$であるとき，$0<h(t)\leqq h(s)$が成り立つ．

(ⅱ)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)=0\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }h(x)=0\text{．}$

【２】　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ$\sqrt{3}\text{，}$$1\text{，}$$2$とする．

(1)　辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとり，辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とは異なる点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{BP}$の長さを$t\text{，}$$\mathrm{\angle BPR}$の大きさを$\theta$とするとき，$\mathrm{PR}$の長さ$l$を$t\text{，}$$\theta$を用いた式で表せ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとり固定する．このとき，$\mathrm{▵PQR}$が正三角形となるような辺$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{R}$が存在することを示せ．

(3)　(2)の正三角形$\mathrm{PQR}$について，その$1$辺の長さを$l$とする．$l^2$を$\mathrm{BP}$の長さ$t$を用いた式で表せ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の各辺に頂点をもつ正三角形の$1$辺の長さの最小値を求めよ．

【３】　$0$以上の整数$m\text{，}$$n$に対して実数$X_{m,n}$が，$X_{0,0}=0$と条件式

$X_{m,n}={\displaystyle \frac{X_{m-1,n}+X_{m,n-1}}{2}}+1$$\text{（}m\text{，}n>0\text{），}$

$X_{m,0}={\displaystyle \frac{X_{m-1,0}+1}{2}}$$\text{（}m>0\text{），}$

$X_{0,n}={\displaystyle \frac{X_{0,n-1}+1}{2}}$$\text{（}n>0\text{）}$

により定められているものとする．

(1)　正の整数$m$に対して$X_{m,0}$を求めよ．

(2)　$0$以上の整数$m\text{，}$$n$に対して

$X_{m,n}=X_{n,m}$

が成立することを，$m+n=N$とおいて$N$に関する数学的帰納法で示せ．

(3)　$m+1\leqq n$である$0$以上の整数$m\text{，}$$n$に対して，次の不等式が成立することを示せ．

$X_{m+1,n}\geqq X_{m,n+1}$

(4)　$m+1\leqq n$である$0$以上の整数$m\text{，}$$n$に対して，次の不等式が成立することを示せ．

$X_{m+1,n}\leqq X_{m,n+1}+2$