2019　東京海洋大学　前期海洋生命科，海洋資源環境学部

【１】　等式

$f(x)=x^2-x{\displaystyle {\int }_0^2}|f(x)|\mathit{dx}$

を満たす関数$f(x)$をすべて求めよ．

【２】　平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．正の数$t$に対し，等式

$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3|t\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\cdots$(＊)

が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　等式(＊)を満たす点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が存在するような$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の最小値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対し，$a_n=4n+1-{(-3)}^n$は$8$の倍数であることを示せ．

(2)　すべての$n$に対し，$b_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{n}^2-{\displaystyle \frac{1}{8}}n+{\displaystyle \frac{1}{32}}\{{(-3)}^n-1\}$は整数であることを示せ．

【４】　$1$から$10$までの整数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．この中から同時に$3$枚取り出すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$10$が書かれたカードを取り出す確率を求めよ．

(2)　$5$が書かれたカードを取り出し，かつ取り出した$3$枚のカードに書かれた数の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．

(3)　取り出した$3$枚のカードに書かれた数の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．

【５】　$a$を正の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^3-3a^2(x+1)$と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の値が$f(x)$の極大値に等しくなるような$x$をすべて求めよ．ただし$x$は$a$を用いて表せ．

(2)　区間$-2\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値を$p(a)$とするとき，$p(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　横軸を$a\text{，}$縦軸を$y$とする平面上に$y=p(a)$のグラフをかけ．