2019　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】　関数$f(x)=x^3-2x^2+3$に対して，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)　$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．また，$C$の概形をかけ．

(2)　実数$a$に対して，点$\mathrm{P}$$(a,f(a))$における$C$の接線を$l$とする．$l$と$C$の共有点が$\mathrm{P}$のみになるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$C$と$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\theta$に対して，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の直線$l\text{：}y=(\tan \theta )x$と，点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3},1)$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$C$を考える．

(1)　$l$と$C$が接するとき，その接点を$\mathrm{B}$とする．$\cos \mathrm{\angle AOB}$を求めよ．

(2)　$l$と$C$が共有点を持つような$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　$l$と$C$が$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$で交わるとき，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．このとき，$x_0=a\sin (2\theta +\alpha )+b$となるような実数$a\text{，}$$b\text{，}$$\alpha$を求めよ．ただし，$a>0\text{，}$$-\pi <\alpha \leqq \pi$とする．

(4)　(3)のとき，$x_0$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　初項をそれぞれ$x_0\text{，}$$y_0$とする数列$x_0,x_1,x_2,\cdots$および$y_0,y_1,y_2,\cdots$が，$n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対して，

$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=-x_n-\sqrt{3}{y}_n+5\\ y_{n+1}=\sqrt{3}{x}_n-y_n+\sqrt{3}\end{array}$

を満たすとする．

(1)　$x_{n+2}\text{，}$$y_{n+2}$および$x_{n+3}\text{，}$$y_{n+3}$を$x_n\text{，}$$y_n$を用いて表せ．

(2)　$x_{3k}\text{，}$$y_{3k}$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を$x_n\text{，}$$y_n$を用いて表せ．

(3)　$x_0=y_0=0$のとき，$x_{3k+1}\text{，}$$y_{3k+1}$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を求めよ．

【４-Ⅰ】　正の定数$a\text{，}$$r$に対して，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の放物線$A\text{：}y=x^2-a$と円$B\text{：}{x}^2+y^2=r^2$が，図のように$y$軸上にない異なる$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$で接している．ここで，放物線と円がある共有点で接するとは，その点における放物線の接線と円の接線が一致することとする．また，円$B$の点$(0,-r)$を含む弧${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を$C$とする．

(1)　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$の座標および$a$を$r$を用いて表せ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{Q}$$(s,t)$における$B$の接線と$A$との交点を${\mathrm{R}}_1\text{，}$${\mathrm{R}}_2$とするとき，線分${\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2$の長さ$d$を$r\text{，}$$t$を用いて表せ．ただし$\mathrm{Q}$が${\mathrm{P}}_1$または${\mathrm{P}}_2$と一致するときは，$d=0$とする．

(3)　$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$d$の最大値を$r$を用いて表せ．

【４-Ⅱ】　$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x}}-\log (x+1)$とする．

(1)　関数$y=f(x)$の極値を求め，グラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．