2019　長岡技術科学大学　前期MathJax

2019-10327-0101

2019　長岡技術科学大学　前期

易□　並□　難□

【１】　 $a$ を正の数とし， $3$ 次関数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + 16$ を考える．下の問いに答えなさい．

(1)　 $y = f (x)$ の極値を求めなさい．

(2)　 $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が $2$ 個であるとき， $a$ の値および $2$ つの共有点の座標を求めなさい．

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易□　並□　難□

【２】　下の問いに答えなさい．

(1)　連立不等式 $0 ≦ x ≦ 2 π ，$ $0 ≦ y ≦ \sin x$ の表す領域の面積を求めなさい．

(2)　三角関数の合成を用いて， $\sin x - \cos x = r \sin (x + θ)$ を満たす実数 $r ，$ $θ$ の値を求めなさい．ただし， $r > 0 ，$ $- π ≦ θ < π$ とする．

(3)　連立不等式 $0 ≦ x ≦ 2 π ，$ $0 ≦ y ≦ \sin x - \cos x$ の表す領域の面積を求めなさい．

(4)　連立不等式 $0 ≦ x ≦ 2 π ，$ $0 ≦ y ≦ a \sin x + b \cos x$ の表す領域の面積を求めなさい．ただし， $a ，$ $b$ は $a^{2} + b^{2} \neq 0$ を満たす実数とする．

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【３】　 $n$ を自然数とする．最初，硬貨の表を上にしてテーブルに置き，その後，「さいころを投げて， $1$ の目が出れば硬貨をひっくり返し，それ以外の目が出れば何もしない」という操作を繰り返す． $n$ 回さいころを投げて硬貨の表が上である確率を $p_{n}$ とおく．下の問いに答えよ．

(1)　 $p_{1} ，$ $p_{2}$ を求めなさい．

(2)　 $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ で表しなさい．

(3)　 $p_{n}$ を $n$ の式で表しなさい．

(4)　 $\lim_{n \to \infty} p_{n}$ を求めなさい．

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【４】　原点を $O$ とする平面上に $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $C$ があり， $3$ つの実数 $s ，$ $t ，$ $u$ が $s + t + u = 1$ を満たしている．また，平面上の点 $P$ に対し，

$V = s {AP}^{2} + t {BP}^{2} + u {CP}^{2}$

を考える． $\vec{p} = \vec{OP} ，$ $\vec{a} = \vec{OA} ，$ $\vec{b} = \vec{OB} ，$ $\vec{c} = \vec{OC} ，$ $\vec{m} = s \vec{a} + t \vec{b} + u \vec{c}$ とおくとき，下の問いに答えなさい．

(1)　 $V$ を $\vec{p} ，$ $\vec{a} ，$ $\vec{b} ，$ $\vec{c} ，$ $s ，$ $t ，$ $u$ で表しなさい．

(2)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$V = {| \vec{p} - \vec{m} |}^{2} - {| \vec{m} |}^{2} + s {| \vec{a} |}^{2} + t {| \vec{b} |}^{2} + u {| \vec{c} |}^{2}$

(3)　 $P$ が動くとき， $V$ の最小値と，その最小値を与える $\vec{p}$ を求めなさい．

(4)　 $A$ $(1, 3) ，$ $B$ $(2, 1) ，$ $C$ $(- 1, 1)$ とする． $P$ が動くとき， $U = 3 {AP}^{2} + 2 {BP}^{2} + {CP}^{2}$ の最小値と，その最小値を与える $P$ の座標を求めなさい．

2019 長岡技術科学大学 前期MathJax

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