2019　福井大学　前期

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$と表す．$S_n=2^{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$6$枚の硬貨があり，その内訳は以下の通りである．

・${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で表が出る硬貨（硬貨$\mathrm{A}$）；$3$枚

・${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で表が出る硬貨（硬貨$\mathrm{B}$）：$2$枚

・${\displaystyle \frac{2}{3}}$の確率で表が出る硬貨（硬貨$\mathrm{C}$）：$1$枚

　これらの$6$枚の硬貨から$1$枚を無作為に選んで投げるという試行を行うとき，以下の問いに答えよ．

(1)　選んだ硬貨を$1$回投げて，表が出る確率を求めよ．

(2)　選んだ硬貨を$2$回続けて投げて， $2$回とも表が出る確率を求めよ．

(3)　選んだ硬貨を$1$回投げて表が出たときに，同じ硬貨をもう$1$回投げて再び表が出る確率を求めよ．

(4)　選んだ硬貨を$2$回続けて投げて$2$回とも表が出たときに，選んだ硬貨が硬貨$\mathrm{A}$である確率を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表す．四面体の辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，辺$\mathrm{OA}$上の点を$\mathrm{P}$とする．$2$直線$\mathrm{LM}$と$\mathrm{NP}$が点$\mathrm{Q}$で交わるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形で，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$とする．$2$直線$\mathrm{LM}$と$\mathrm{NP}$が点$\mathrm{Q}$で直交するとき，$\cos \mathrm{\angle AOB}$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=e^{-x}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$について，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{e^{-x}}{\sqrt{2}}}\cos x+C$（$C$は積分定数）を証明せよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^x}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$とおくとき$\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)$を求めよ．

【５】　次の[1]，[2]の問いに答えよ．

[1]　${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$を証明せよ．

[2]　座標平面上に$2$つの曲線$C_1\text{：}y=-x^2-2x+4\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2$がある．定数$t$の範囲は$-2\leqq t\leqq 1$とし，曲線$C_1$上で$x$座標が$t$の点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の接線を$y=f(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　連立不等式$y\geqq -x^2-2x+4\text{，}$$y\geqq x^2\text{，}$$y\leqq f(x)$で表される領域の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$の最大値と最小値，およびそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

【６】　$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$とおく．曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と曲線$C_2\text{：}y=x^4+x^3-8x^2-9x+9$について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値をすべて求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，方程式$2{\cos }^{2}x+5\cos x-3=0$を満たす$x$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　初項が$a_1=1$で公比が${\displaystyle \frac{1}{3}}$の等比数列$\{a_n\}$において，$a_n<{\displaystyle \frac{1}{{10}^{10}}}$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{5}{2}}\leqq x\leqq 2$のとき，関数$f(x)=(1-x)|x+2|$の最大値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　関数$g(x)=(a+1)x^3+3(a+1)x^2+6ax+5$が極値をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．ただし，$a\ne -1$とする．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{e^{2x}}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{\cos x+2\sin x}{5e^{2x}}}+C$（$C$は積分定数）を示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$a_n={\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}|f(x)|\mathit{dx}$とおく．$a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　原点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,c)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．ただし，$a>0$とする．辺$\mathrm{OA}$を$n$等分する点を，$x$座標が小さい順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}$とし，点${\mathrm{P}}_n$を点$\mathrm{A}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$1\leqq k\leqq n$として，点${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left|\overrightarrow{\mathrm{B}{\mathrm{P}}_k}\right|}^2$とする．$S_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【１】　複素数平面上で，点$z$は方程式$z\bar{z}+1=(1-2i)z+(1+2i)\bar{z}$を満たす．ここで，$\bar{z}$は$z$の共役複素数である．点$w=4+5i$を通る直線$l$と実軸とのなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であり，$l$と実軸の交点$\alpha$の実部は$4$より大きい．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　方程式を満たす点$z$で，$l$との距離が最小になるものを求めよ．

(3)　方程式を満たす点$z$で，実部と虚部がともに整数になるすべての点から無作為に$1$つ選ぶ．点$\mathrm{A}$はその点を出発して，表が出る確率が$p$である$1$枚の硬貨を投げて，表が出れば実軸方向に$1$だけ，表が出なければ虚軸方向に$1$だけ進むものとする．この硬貨を$4$回続けて投げたとき，点$\mathrm{A}$が直線$l$上にある確率を求めよ．

【２】　変量$x$のデータの値を$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n\text{，}$変量$y$のデータの値を$y_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_n$とする．変量$x$の標準偏差を$s_x\text{，}$変量$y$の標準偏差を$s_y$とする．また，変量$x$と変量$y$の相関係数を$r$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　変量$x$の最大値を$\max (x)\text{，}$最小値を$\min (x)$とする．このとき，

$s_x\leqq \max (x)-\min (x)$

が成り立つことを示せ．さらに，等号成立の条件を調べよ．

(2)　変量$z$のデータの値を$z_1=x_1-y_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$z_n=x_n-y_n$とする．このとき，

$r={\displaystyle \frac{{s_x}^2+{s_y}^2-{s_z}^2}{2s_x{s}_y}}$

が成り立つことを示せ．ただし，$s_z$は変量$z$の標準偏差とする．

(3)　次の表は，ある運動部に所属する$10$名の身長（変量$x\text{，}$単位$\mathrm{cm}$）と体重（変量$y\text{，}$単位$\mathrm{kg}$）のデータ，および変量$x\text{，}$変量$y\text{，}$変量$x-y$の平均，分散，標準偏差を計算した結果である．ただし，$y_1<y_2$とする．

No.	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	平均	分散	標準偏差
身長$x$	$157$	$163$	$178$	$180$	$164$	$161$	$179$	$185$	$165$	$168$	$170$	$83.4$	$9.13$
体重$y$	$y_1$	$y_2$	$63$	$77$	$61$	$63$	$70$	$79$	$62$	$65$	$65$	$64.8$	$8.05$
$x-y$	$157-y_1$	$163-y_2$	$115$	$103$	$103$	$98$	$109$	$106$	$103$	$103$	$105$	$19.0$	$4.36$

$\text{①}$　$y_1\text{，}$$y_2$の値をそれぞれ求めよ．

$\text{①}$　変量$x$と変量$y$の相関係数$r$を求めて，このデータの傾向について説明せよ．なお，$r$の値は小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．また必要ならば，$9.13\times 8.05\fallingdotseq 73.5$を用いてもよい．

【３】　$n$を自然数とする．$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}}|\sin n\pi x|\mathit{dx}$を求めよ．ただし，$k$は$0\leqq k\leqq k-1$を満たす整数とする．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)|\sin n\pi x|\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を重心とし，$\mathrm{A}$$(-2,0,0)$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$（ただし，$\mathrm{B}$の$y$座標は負）が$xy$平面上にある．また$\mathrm{P}$$(0,0,2\sqrt{2})$を重心とし，$\mathrm{D}$$(2,0,2\sqrt{2})$を頂点とする正三角形$\mathrm{DEF}$（ただし，$\mathrm{E}$の$y$座標は正）が平面$z=2\sqrt{2}$上にある．正四面体$\mathrm{PABC}$と正四面体$\mathrm{ODEF}$の共通部分としてできる立体を$K$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$K$を平面$z=t$$\text{（}0\leqq t\leqq \sqrt{2}\text{）}$で切った切り口の面積$S(t)$を求めよ．

(2)　$K$の体積を求めよ．

(3)　$K$の表面積を求めよ．