2019　静岡大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を定数とし，$2$次関数$f(x)=x^2-(a+2b)x+2ab$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b=1$のとき，$2$次不等式$f(x)<0$を解け．

(2)　(1)の$2$次不等式を満たす整数$x$がちょうど$3$個あるとき，定数$a$の範囲を求めよ．

(3)　$2$元$2$次不定方程式$f(1)=4$の整数解$(a,b)$をすべて求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を定数とし，$3$次関数$f(x)=x^3-3a{x}^2+3bx-ab$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　整式$f(x)$を整式${\displaystyle \frac{1}{3}}{f}^{\prime }(x)$で割り，商と余りを求めよ．

(2)　$f(x)$が極値を持つために$a\text{，}b$が満たすべき条件を求めよ．

(3)　$f(x)$が$x=\alpha$で極大値$0$をとるような定数$a$の範囲と定数$\alpha$の値を求めよ．

【３】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$がある．実数$x\text{，}y$に対して，点$\mathrm{P}$が

$3\overrightarrow{\mathrm{PA}}+4\overrightarrow{\mathrm{PB}}+5\overrightarrow{\mathrm{PC}}=x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x=y=0$のとき，$\mathrm{▵PAB}\text{，}\mathrm{▵PBC}\text{，}\mathrm{▵PCA}$の面積比を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵ABC}$の周および内部にあるとき，点$(x,y)$が存在する範囲を$xy$平面上に図示せよ．

(3)　(2)をみたす点$(x,y)$のうち$\mathrm{▵PAB}\text{，}\mathrm{▵PBC}\text{，}\mathrm{▵PCA}$の面積比が$1:2:3$となる点$(x,y)$を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{BC}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{CD}$上（両端を含む）にあるとき，点$(x,y)$が存在する範囲を$xy$平面上に図示せよ．

【４】　一般に，実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数，すなわち，$n\leqq a<n+1$を満たす整数$n$を，$a$の整数部分といい，$a-n$を$a$の小数部分という．$x>1$に対し${\log }_{2}x$の整数部分を$f(x)\text{，}$小数部分を$g(x)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(\sqrt[5]{64})\text{，}g(\sqrt[5]{64})\text{，}f(2019)$をそれぞれ求めよ．

(2)　$f(x+1)=f(x)$であるとき，$g(x+1)>g(x)$が成り立つことを示せ．

(3)　$f(x+1)=f(x)+1$であるとき，$g(x+1)<g(x)$が成り立つことを示せ．

【１】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={a_n}^3{4}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\log }_2{a}_n$とするとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$を定数とし$f(n)=\alpha n+\beta$とする．このとき，$b_{n+1}-f(n+1)=3\{b_n-f(n)\}$が成り立つように$\alpha \text{，}$$\beta$を定めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

【２】　$f(x)=e^x\sin x\text{，}$$g(x)=a\sin x$とする．ただし$a$は$0$以上の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$を定数とし

$I={\displaystyle {\int }_0^b}{e}^{2x}\cos 2xdx\text{，}$$J={\displaystyle {\int }_0^b}{e}^{2x}\sin 2xdx$

とおく．このとき，

$I+J={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2b}\sin 2b\text{，}$$I-J={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{2b}\cos 2b-1)$

が成り立つことを示し，$I$と$J$を求めよ．

(2)　$f(x)=g(x)$を満たす正の実数のうち最小のものを求めよ．

(3)　(2)で求めた実数を$x_0$とする．$0\leqq x\leqq x_0$の範囲で$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．

【３】　$\overrightarrow{c_1}=(1,2)\text{，}$$\overrightarrow{c_2}=(5,4)$を$xy$平面上の原点を始点とする位置ベクトルとし，$C_1\text{，}$$C_2$をそれぞれベクトル方程式$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c_1}|=2\text{，}$$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c_2}|=2$で与えられた点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$C_1$の中心と円$C_2$の中心を通る直線$l$のベクトル方程式を求めよ．

(2)　円$C_1$と円$C_2$の両方に接する直線のうち$l$と平行であるものは$2$本ある．それらの直線と$C_1$との接点を求めよ．

(3)　円$C_1$と円$C_2$の両方に接する直線のうち$l$と平行でないものは$2$本ある．それらの直線のうち方向ベクトルが$(0,1)$でないものを$m$とする．このとき$m$と$C_1$との接点および$m$の方向ベクトルを求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$0$から$9$までの整数とし，整数$n=100a+10b+c$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n$が$7$の倍数であるための必要十分条件は$10a+b-2c$が$7$の倍数であることを示せ．

(2)　$a\ne b\text{，}$$a=c$であるとき，$n$が$7$の倍数となるような$a$と$b$の組は何通りあるか．

(3)　$a=b\text{，}$$a\ne c$であるとき，$n$が$7$の倍数となるような$a$と$c$の組は何通りあるか．

(4)　$\boxed{0}$から$\boxed{9}$までの$10$枚のカードの中から，無作為に$3$枚を選んで並べて数を表すことにする．例えば$\boxed{8}\boxed{3}\boxed{1}$は$831$とし，$\boxed{0}\boxed{4}\boxed{9}$は$49$とする．並べた数$\boxed{\mathrm{a}}\boxed{\mathrm{b}}\boxed{\mathrm{c}}$が$7$の倍数である確率を求めよ．

【２】　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で$f(x)=e^x\sin x\text{，}$$g(x)=e^x\cos x$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)\text{，}$$g(x)$の極値を求めよ．

(2)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲で，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$と$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．