2019　静岡大学　後期MathJax

【１】　曲線$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2x}}$$\text{（}x>0\text{）}$を$C_1\text{，}$曲線$x^2-y^2=\sqrt{3}+1$$\text{（}x>0\text{）}$を$C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面において複素数$z$が$C_1$上を動くとき$z^2$の軌跡を求めよ．

(2)　複素数$z$が$C_1$と$C_2$の交点であるとき，$z^2$を求めよ．

(3)　(2)のとき，$z^4\text{，}$$\left|z\right|\text{，}$$\arg z$をそれぞれ求めよ．ただし，$\arg z$は$z$の偏角を表し，$-\pi <\arg z\leqq \pi$の範囲で考えるものとする．

【２】　曲線$y=2^x$を$C$とし，原点から$C$に引いた接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし$\log$は自然対数を表すものとする．

(1)　$a>0$かつ$a\ne 1$に対して$a^{\frac{1}{\log a}}$は$a$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$C\text{，}$$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　関数$x\{{(\log x)}^2-2(\log x-1)\}$を微分せよ．

(5)　$C\text{，}$$l$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$をそれぞれ次のように定める．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$a_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}({\displaystyle \frac{2}{n}}-1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{a}_k)$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}$

$b_n=(n+1)a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{2}{n+2}}({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n}})={\displaystyle \frac{A}{(n+1)(n+2)}}+{\displaystyle \frac{B}{n(n+1)}}$がすべての自然数$n$に対して成り立つように定数$A\text{，}$$B$を定めよ．

(2)　$n\geqq 1$のとき$b_{n+1}-b_n$を$n$と$a_n$で表せ．

(3)　$n\geqq 1$のとき$a_{n+1}-a_n$を$n$で表せ．

(4)　$n\geqq 1$のとき$a_n$を$n$で表せ．

【２】　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{CD}=1\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\mathrm{\angle BCD}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である台形$\mathrm{ABCD}$と辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{E}$を考える．点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$を出発し線分$\mathrm{AE}$上を速さ$1$で点$\mathrm{E}$まで移動し，その後，点$\mathrm{E}$から線分$\mathrm{ED}$上を速さ$\sqrt{5}$で点$\mathrm{D}$まで移動するものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の移動時間が最も短くなるとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．

(2)　点$\mathrm{E}$が(1)で求めた位置にあるとき，$\tan \mathrm{\angle AED}$を求めよ．

【３】　$\alpha$を空間内の平面とし，平面$\alpha$上に各辺の長さがすべて$1$である四角形$\mathrm{ABCD}$があるとする．さらに，$\mathrm{P}$を平面$\alpha$上にない点とし，$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=\mathrm{PD}=1$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle APC}=\mathrm{\angle ABC}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$\mathrm{\angle APC}$を求めよ．

【５】　$p$を素数，$n$を自然数，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を整数とする．$a-b$が$n$で割り切れるとき，$a\equiv b(\mathrm{mod}n)$と書くことにする．このとき，次の問いに答えよ．ただし素数の性質「$ab$が$p$で割り切れるならば，$a$は$p$で割り切れるかまたは$b$は$p$で割り切れる」は用いてもよい．

(1)　$x^2\equiv a^2(\mathrm{mod}p)$を満たす整数$x$をすべて求めよ．

(2)　$x^2+2bx+c\equiv 0(\mathrm{mod}p)$を満たす整数$x$で$0\leqq x\leqq p-1$であるものは$2$個以下であることを示せ．

(3)　$x^2-4x+2\equiv 0(\mathrm{mod}79)$を満たす整数$x$で$0\leqq x\leqq 78$であるものをすべて求めよ．

(4)　$x^2-6x+9\equiv 0(\mathrm{mod}49)$を満たす整数$x$で$0\leqq x\leqq 48$であるものをすべて求めよ．

【１】　初項$3\text{，}$公差${\displaystyle \frac{5}{2}}$の等差数列を$\{a_n\}\text{，}$初項${\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}$公差${\displaystyle \frac{5}{2}}$の等比数列を$\{b_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_n\geqq {10}^8$となる最小の$n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{9}{4}}<{\log }_{2}5<{\displaystyle \frac{7}{3}}$が成り立つことを示せ．

(4)　$b_n\geqq {10}^8$となる最小の$n$を求めよ．