2019　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　$2$つの円$C_1\text{：}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=1\text{，}$$C_2\text{：}{(x-5)}^2+{(y-3)}^2=1$の共通接線の方程式をすべて求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$s\text{，}$$t\text{，}$$u$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{\angle O}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{▵OAB}$の内心を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

【３】　数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$\cdots$の各項$a_k$が$a_k>2k$を満たすとする．このとき，$2$以上の自然数$n$について，不等式

$(1+{\displaystyle \frac{1}{a_1}})(1+{\displaystyle \frac{1}{a_2}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{1}{a_n}})<n$

が成り立つことを，数学的帰納法によって示せ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(x+4)}^2(2x-1)}{3x^2}}$について，次の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べよ．

問２　関数$g(x)$を$g(x)=f(x)-({\displaystyle \frac{2}{3}}x+5)$で定める．このとき，$g(x)>0$となる$x$の範囲を求めよ．また，$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)$を求めよ．

問３　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

【５】　関数$f(x)=\sqrt{x+2}$について，次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．また，$y=f^{-1}(x)$のグラフをかけ．

問２　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=f^{-1}(x)$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．