2019　滋賀大学　前期MathJax

【１】　正三角形$\mathrm{OAB}$において，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{OA}$を$\alpha :(1-\alpha )$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$\beta :(1-\beta )$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<\alpha <1\text{，}$$0<\beta <1$である．線分$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{G}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ADF}$の面積が正三角形$\mathrm{OAB}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{6}}$になるような$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{CDE}$の$3$辺の長さの和が最小になるような$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．

【２】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CD}=x\text{，}$$\mathrm{DA}=12-x$とする．ただし，$1<x<11$とする．四角形$\mathrm{ABCD}$の$\mathrm{\angle A}$の大きさを$A$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x=7$のとき，$\cos A$と$A$の値を求めよ．

(2)　$\cos A$と$\sin A$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　$2$次関数$f(x)={\displaystyle \frac{5}{4}}{x}^2-1$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$は$f(a)=a\text{，}$$f(b)=b\text{，}$$a<b$を満たす．このとき，$a\leqq x\leqq b$における$f(x)$の最小値と最大値を求めよ．

(2)　$p\text{，}$$q$は$p<q$を満たす．このとき，$p\leqq x\leqq q$における$f(x)$の最小値が$p\text{，}$最大値が$q$となるような$p\text{，}$$q$の組をすべて求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が虚数解$x=2+i$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$と$c$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$の$x=2$における微分係数を求めよ．

(3)　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が$x>2$において極小値をとるように$a$の値の範囲を定めよ．

【３B】　ある国の$14$歳女子の身長は，母平均$160\mathrm{cm}\text{，}$母標準偏差$5\mathrm{cm}$の正規分布に従うものとする．この女子の集団から，無作為に抽出した女子の身長を$X\mathrm{cm}$とする．このとき，次の問いに答えよ．なお，付表の正規分布表を利用してよい．

(1)　確率変数${\displaystyle \frac{X-160}{5}}$の平均と標準偏差を求めよ．

(2)　$P(X\geqq x)\leqq 0.1$となる最小の整数$x$を求めよ．

(3)　$X$が$165\mathrm{cm}$以上$175\mathrm{cm}$以下となる確率を求めよ．ただし，小数第$3$位を四捨五入せよ．

(4)　この国の$14$歳女子の集団から，大きさ$2500$の無作為標本を抽出する．このとき，この標本平均$\bar{X}$の平均と標準偏差を求めよ．さらに，$X$の母平均と標本平均$\bar{X}$の差$|\bar{X}-160|$が$0.2\mathrm{cm}$以上となる確率を求めよ．ただし，小数第$3$位を四捨五入せよ．

【４D】　曲線$y=f(x)$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる図形を，仮想的な容器とみなす．ただし，

$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{（}0\leqq x<1\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\log x& \text{（}x\geqq 1\text{）}\end{array}$

とする．この容器を水平面上に設置し，単位時間あたり$2\pi$の水を注水する．空の容器に注水を始める時刻を$t=0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　容器の底から高さ$h$まで注水したときの水の体積を求めよ．

(2)　時刻$t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$における水面の高さを求めよ．

(3)　時刻$t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$における水面が上昇する速さを求めよ．