2019　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　図のように$3$つの頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が線分でつながっている．

　この図形の上を点$\mathrm{P}$が次の規則に従って動く．以下，$n$は$0$以上の整数である．

・時刻$0$に点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にいる．

・時刻$n$に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にいる場合，時刻$n+1$において，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で頂点$\mathrm{A}$にどどまっているか，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で頂点$\mathrm{B}$に移動している．

・時刻$n$に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいる場合，時刻$n+1$において，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまっているか，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で頂点$\mathrm{A}$に移動しているか，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で頂点$\mathrm{C}$に移動している．

・時刻$n$に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいる場合，時刻$n+1$において，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまっているか，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で頂点$\mathrm{B}$に移動している．

　時刻$n$に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$とする．

(1)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}\text{，}$$c_{n+1}$を，$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$を用いて表せ．

(2)　(1)の結果と$a_n+b_n+c_n=1$を利用して，$b_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$p_n=2^n{a}_n$とおく．$p_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$を求めよ．

【２】(1)　$k\text{，}$$l$を自然数として，異なる$k$個の複素数${\alpha }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\alpha }_k$と異なる$l$個の複素数${\beta }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\beta }_l$を考える．任意の複素数$z$について，$k$個の複素数$z-{\alpha }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$z-{\alpha }_k$の積と$l$個の複素数$z-{\beta }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$z-{\beta }_l$の積が等しい．すなわち

$(z-{\alpha }_1)\times \cdots \times (z-{\alpha }_k)$

とする．このとき，$k=l$であって，${\beta }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\beta }_l$を並び替えると${\alpha }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\alpha }_k$になることを示せ．

(2)　$n$を自然数とする．方程式$z^n=1$の解は，ある複素数$\omega$を用いて表される$n$個の複素数${\omega }^k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$であることを示せ．

(3)　$m\text{，}$$n$を自然数とする．$m$が$n$の約数であることは，方程式$x^m=1$の任意の解が方程式$x^n=1$の解になるための必要十分条件であることを示せ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の重心を$\mathrm{H}$とする．

(1)　直線$\mathrm{OG}$と直線$\mathrm{CH}$は交わることを示せ．

　以下では，直線$\mathrm{OG}$と直線$\mathrm{CH}$の交点を$\mathrm{I}$として，$\mathrm{OI}=\mathrm{AI}=\mathrm{BI}=\mathrm{CI}$とする．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$を示せ．

(4)　$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{OC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{I}$を中心として，平面$\mathrm{OAB}$とただ一つの共有点を持つような球の半径を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b$を実数とする．曲線$y=e^x$と直線$y=ax+b$は$0\leqq x\leqq 1$の範囲で異なる$2$点で交わるとする．区間$0\leqq x\leqq 1$を定義域とする関数

$f(x)=|e^x-(ax+b)|$

を考える．

(1)　$a>0$を示せ．

(2)　$b>0$を示せ．

(3)　$f(x)$を最大にする$x$の値が$3$個存在するとき，$a$と$b$を求めよ．

(4)　(3)のときの$a\text{，}$$b$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^x\mathit{dx}\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}(ax+b)\mathit{dx}$

を示せ．