2019　大阪教育大学　前期

【１】　$\mathrm{▵ABC}$と点$\mathrm{P}$が

$4\overrightarrow{\mathrm{AP}}-6\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

を満たしているとき，次の問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を用いて表せ．

(2)　三角形の面積比$\mathrm{▵PBC}:\mathrm{▵PCA}:\mathrm{▵PAB}$を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PC}$が直交し，かつ直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{PB}$が直交するとき，$\cos \mathrm{\angle BAC}$を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とする．

(ⅰ)　不等式$3(a^2+b^2+c^2)\geqq {(a+b+c)}^2$を示せ．

(ⅱ)　(ⅰ)の不等式で等号が成立するための必要十分条件を述べよ．

(2)　$a\text{，}$$b$は正の実数で，$ab\geqq 1+a+b$を満たしているとする．

(ⅰ)　不等式$a+b\geqq 2(1+\sqrt{2})$を示せ．

(ⅱ)　(ⅰ)の不等式で等号が成立するための必要十分条件を述べよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　$720$を素因数分解せよ．

(2)　$720$の正の約数の個数を求めよ．

(3)　$720$の正の約数の総和を求めよ．

(4)　$720$の正の約数の組$(a,b)$の中で，$a$と$b$が互いに素となるものの個数を求めよ．ただし，$a<b$とする．

【４】　関数$f(x)=e^x\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$に対して，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフを描け．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　(2)の図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．