2019　奈良女子大学　前期

(1)　$a{x}_1+b{y}_1=1\text{，}$$a{x}_2+b{y}_2=1$を示せ．

(2)　直線$l$の方程式は$ax+by=1$であることを示せ．

(3)　直線$m$は点$\mathrm{P}$を通ることを示せ．

(4)　三角形$\mathrm{OPQ}$が正三角形となるとき，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

(1)　$p(2)\text{，}$$q(2)$を求めよ．

(2)　$p(n)\text{，}$$q(n)$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{p(n)}{q(n)}}$を求めよ．

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた直線と，曲線$C_1$および$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(1)　$\sin \alpha$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{BE}\text{，}$線分$\mathrm{DE}$の長さをそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　$\sin \beta$の値を$t$を用いて表せ．

(1)　$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$2n$から，$2$で割ったときの余りが異なる$2$個の数を取り出して作った積をすべた足しあわせ得た値を$S(n)$とする．たとえば，

$S(1)=1\times 2=2$

$S(2)=1\times 2+1\times 4+3\times 2+3\times 4=24$

$S(3)=1\times 2+1\times 4+1\times 6$$+3\times 2+3\times 4+3\times 6$$+5\times 2+5\times 4+5\times 6=108$

である．以下の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$S(4)$を求めよ．

(ⅱ)　$S(n)$を求めよ．

(2)　$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$3n$から，$3$で割ったときの余りが異なる$2$個の数を取り出して作った積をすべて足し合わせた値を$T(n)$とする．$T(n)$を求めよ．

(1)　次の不等式を解け．

${({\log }_{2}x)}^2-4{\log }_{2}x+3\leqq 0$

(2)　$x$が(1)で求めた範囲にあるとき，

$f(x)=({\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{x}{3}})({\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{x}{4}})$

の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．